\int_{\gamma} 2 x y d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d y
nos seguintes casos. \gamma é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y\,d x+\left(y^{2}-x^{2}\right)\,d y
onde \gamma é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.
Informações dadas e pedidos claros:
A curva \gamma é o círculo de raio 1 centrado na origem.
A orientação é horário (sentido negativo em relação à orientação padrão contra‑horária).
Precisa-se do valor numérico da integral de linha para essa curva e orientação.
Passo 2
Vamos parametrizar o círculo unitário no sentido horário. A parametrização padrão contra‑horária é (\cos t,\sin t) para t\in[0,2\pi]. Para inverter a orientação usamos t\mapsto -t ou uma parametrização equivalente. Escolho
O Teorema de Green (orientação contra‑horária) daria \iint_{D}(-4x)\,dA sobre o disco unitário D. Pelo fato de x ser função ímpar em relação ao eixo y e D ser simétrico em x, tem-se \iint_{D}x\,dA=0, portanto \iint_{D}(-4x)\,dA=0. Como a curva dada é horário (orientação negativa), o sinal seria invertido, mas o resultado continua 0. Isso confirma o cálculo direto.