Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d y
nos seguintes casos.
\gamma é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y\,d x+\left(y^{2}-x^{2}\right)\,d y
onde \gamma é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.
Informações dadas e pedidos claros:
  • A curva \gamma é o círculo de raio 1 centrado na origem.
  • A orientação é horário (sentido negativo em relação à orientação padrão contra‑horária).
  • Precisa-se do valor numérico da integral de linha para essa curva e orientação.

Passo 2

Vamos parametrizar o círculo unitário no sentido horário. A parametrização padrão contra‑horária é (\cos t,\sin t) para t\in[0,2\pi]. Para inverter a orientação usamos t\mapsto -t ou uma parametrização equivalente. Escolho
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=-\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Agora calculo as diferenciais d x e d y (derivadas em relação a t vezes dt):
d x = x'(t)\,dt = -\sin t\,dt,\qquad d y = y'(t)\,dt = -\cos t\,dt.
Explicando: x(t)=\cos t tem derivada -\sin t; y(t)=-\sin t tem derivada -\cos t.

Passo 3

Substituo x(t),y(t),d x,d y na forma diferencial da integral. Primeiro calculo cada parcela:
2x y\,d x = 2\big(\cos t\big)\big(-\sin t\big)\big(-\sin t\,dt\big) =2\cos t\,\sin^{2}t\,dt.
E
\big(y^{2}-x^{2}\big)\,d y = \big(\sin^{2}t-\cos^{2}t\big)\big(-\cos t\,dt\big).
Observando que \sin^{2}t-\cos^{2}t=-\cos 2t, tem-se
\big(y^{2}-x^{2}\big)\,d y = \big(-\cos 2t\big)\big(-\cos t\,dt\big)=\cos 2t\cos t\,dt.

Passo 4

Somando as duas parcelas obtemos o integrando em função de t:
2\cos t\,\sin^{2}t+\cos 2t\cos t.
Faço uma simplificação trigonométrica para deixar a integral fácil de calcular. Uso \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Então
2\cos t\,\sin^{2}t = 2\cos t\cdot\dfrac{1-\cos 2t}{2}=\cos t\big(1-\cos 2t\big).
Somando com \cos 2t\cos t
\cos t\big(1-\cos 2t\big)+\cos 2t\cos t=\cos t.
Portanto o integrando simplifica para \cos t, e a integral de linha reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt.

Passo 5

Calculo a integral em t:
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=\sin t\Big|_{0}^{2\pi}=\sin(2\pi)-\sin 0=0-0=0.
Assim a integral de linha ao longo de \gamma (círculo unitário no sentido horário) é 0.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil na prova): aplicar o Teorema de Green. Para P(x,y)=2xy e Q(x,y)=y^{2}-x^{2} tem-se
\frac{\partial Q}{\partial x}=-2x,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2x,
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-4x.
O Teorema de Green (orientação contra‑horária) daria \iint_{D}(-4x)\,dA sobre o disco unitário D. Pelo fato de x ser função ímpar em relação ao eixo y e D ser simétrico em x, tem-se \iint_{D}x\,dA=0, portanto \iint_{D}(-4x)\,dA=0. Como a curva dada é horário (orientação negativa), o sinal seria invertido, mas o resultado continua 0. Isso confirma o cálculo direto.

Resposta

0

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