Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d y
nos seguintes casos.
\gamma é o caminho fechado definido pelos arcos de parábolas y=x^{2} e x=y^{2}. Faça uma ilustração gráfica para visualizar o traço de \gamma.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma} 2 x y \, d x + \left(y^{2}-x^{2}\right)\, d y,
onde \gamma é o caminho fechado formado pelos arcos das parábolas y=x^{2} e x=y^{2}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo de forma diferencial tem P(x,y)=2xy (multiplicando dx) e Q(x,y)=y^{2}-x^{2} (multiplicando dy).
  • As curvas que fecham \gamma são y=x^{2} e x=y^{2}.
  • As duas curvas se interceptam nos pontos (0,0) e (1,1) (esses são os pontos de encontro das parábolas no primeiro quadrante).
  • A curva \gamma é fechada e consiste do arco de y=x^{2} que vai de (0,0) a (1,1) e do arco de x=y^{2} que vai de (1,1) de volta a (0,0).
  • O enunciado também pede uma ilustração gráfica para visualizar o traço de \gamma.

Passo 2

Escolha de ferramenta e fórmula (explicação didática do que vou usar).
  • Quando temos uma integral de linha do tipo \displaystyle\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy ao longo de uma curva fechada simples (sem auto-interseções) que limita uma região D no plano, uma ferramenta muito útil é o Teorema de Green. Ele transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D, o que muitas vezes simplifica muito o cálculo.
  • O Teorema de Green (forma para integrais de linha de campos planos) afirma que, para \gamma positivamente orientada (isto é, percorrida no sentido anti-horário), vale:
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA.
  • Aqui P(x,y)=2xy e Q(x,y)=y^{2}-x^{2}. Vou calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(y^{2}-x^{2}\right) = -2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(2xy\right) = 2x.
  • Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - 2x = -4x.
(Explicação curta: \partial Q/\partial x mede como Q varia com x mantendo y fixo; \partial P/\partial y mede como P varia com y mantendo x fixo. A diferença aparece no teorema.)

Passo 3

Descrição da região D limitada por \gamma e ilustração do traço.
  • As equações limites são y=x^{2} (uma parábola “abrindo para cima” mais achatada no intervalo [0,1]) e x=y^{2} que, isolando y\ge0, dá y=\sqrt{x} (uma parábola “deitada” que é a inversa da anterior). Entre x=0 e x=1 temos x^{2}\le \sqrt{x}, então a região D é o conjunto de pontos (x,y) com
0 \le x \le 1,\qquad x^{2} \le y \le \sqrt{x}.
  • Ilustração (um esboço simples para visualizar; imagine eixos x,y com 0\le x,y\le 1):
    y
    ^
    |
    | * (1,1)
    | /|
    | / |
    | / |
    | / |
    | / |
    | / |
    | / |
    |/_____> x
    (0,0)
    Explicação do esboço: a curva de cima é y=\sqrt{x} (mais inclinada para cima), a curva de baixo é y=x^{2} (mais próxima ao eixo x para 0<x<1). A região D fica entre essas duas curvas de x=0 a x=1. O caminho \gamma segue, por exemplo, y=x^{2} de (0,0) a (1,1) e volta por y=\sqrt{x} de (1,1) a (0,0). Esse trajeto mantém a região D à esquerda ao percorrê-lo nesse sentido, logo é orientação positiva (anti-horária), então podemos aplicar o Teorema de Green diretamente.
  • Parâmetros das curvas (útil para imaginar direção):
    • arco inferior: \gamma_1(t)=(t, t^{2}), 0\le t\le 1 (vai de (0,0) a (1,1));
    • arco superior (voltando): \gamma_2(s)=(s, \sqrt{s}) percorrido de s=1 a s=0 (para retornar a (0,0)). Observando esses sentidos, a orientação combinada é anti-horária.

Passo 4

Aplicação do Teorema de Green e cálculo da integral dupla.
  • Pelo Teorema de Green:
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA = \iint_{D} (-4x)\, dA.
  • Substituindo os limites que descrevemos para D (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{D} (-4x)\, dA = \int_{x=0}^{1} \left( \int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} (-4x)\, dy \right) dx.
  • Executando a integral interna em y: como -4x é constante em relação a y,
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} (-4x)\, dy = -4x\bigl[y\bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = -4x\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr).
  • Assim a integral total fica
\int_{0}^{1} -4x\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\, dx = -4\int_{0}^{1} \bigl(x\sqrt{x} - x^{3}\bigr)\, dx.
  • Simplificar as potências: x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}. Então
-4\int_{0}^{1} \bigl(x^{3/2} - x^{3}\bigr)\, dx = -4\left(\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx - \int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right).
  • Calcule cada integral usando a regra \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1):
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}, \qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
  • Substituindo:
-4\left(\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\right) = -4\left(\frac{8}{20} - \frac{5}{20}\right) = -4\cdot\frac{3}{20} = -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5}.

Passo 5

Interpretação final e observação sobre orientação.
  • O valor obtido -\dfrac{3}{5} corresponde à integral no caso em que \gamma é percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), que foi a orientação usada implicitamente ao aplicar o Teorema de Green.
  • Se alguém percorrer \gamma no sentido oposto (horário), o sinal da integral trocaria, e o valor seria \dfrac{3}{5}.

Resposta

-\dfrac{3}{5}

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