Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o caminho fechado definido pelos arcos de parábolas
e
. Faça uma ilustração gráfica para visualizar o traço de
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é o caminho fechado formado pelos arcos das parábolas
e
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O campo de forma diferencial tem
(multiplicando ) e (multiplicando ). - As curvas que fecham
são e . - As duas curvas se interceptam nos pontos
e (esses são os pontos de encontro das parábolas no primeiro quadrante). - A curva
é fechada e consiste do arco de que vai de a e do arco de que vai de de volta a . - O enunciado também pede uma ilustração gráfica para visualizar o traço de
.
Passo 2
Escolha de ferramenta e fórmula (explicação didática do que vou usar).
- Quando temos uma integral de linha do tipo
ao longo de uma curva fechada simples (sem auto-interseções) que limita uma região no plano, uma ferramenta muito útil é o Teorema de Green. Ele transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região , o que muitas vezes simplifica muito o cálculo. - O Teorema de Green (forma para integrais de linha de campos planos) afirma que, para
positivamente orientada (isto é, percorrida no sentido anti-horário), vale:
- Aqui
e . Vou calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
- Portanto o integrando da integral dupla é
(Explicação curta:
mede como
varia com
mantendo
fixo;
mede como
varia com
mantendo
fixo. A diferença aparece no teorema.)
Passo 3
Descrição da região
limitada por
e ilustração do traço.
- As equações limites são
(uma parábola “abrindo para cima” mais achatada no intervalo ) e que, isolando , dá (uma parábola “deitada” que é a inversa da anterior). Entre e temos , então a região é o conjunto de pontos com
-
Ilustração (um esboço simples para visualizar; imagine eixos
com ): y
^
|
| * (1,1)
| /|
| / |
| / |
| / |
| / |
| / |
| / |
|/_____> x
(0,0)Explicação do esboço: a curva de cima é(mais inclinada para cima), a curva de baixo é (mais próxima ao eixo para ). A região fica entre essas duas curvas de a . O caminho segue, por exemplo, de a e volta por de a . Esse trajeto mantém a região à esquerda ao percorrê-lo nesse sentido, logo é orientação positiva (anti-horária), então podemos aplicar o Teorema de Green diretamente. -
Parâmetros das curvas (útil para imaginar direção):
- arco inferior:
, (vai de a ); - arco superior (voltando):
percorrido de a (para retornar a ). Observando esses sentidos, a orientação combinada é anti-horária.
- arco inferior:
Passo 4
Aplicação do Teorema de Green e cálculo da integral dupla.
- Pelo Teorema de Green:
- Substituindo os limites que descrevemos para
(integrando primeiro em , depois em ):
- Executando a integral interna em
: como é constante em relação a ,
- Assim a integral total fica
- Simplificar as potências:
. Então
- Calcule cada integral usando a regra
:
- Substituindo:
Passo 5
Interpretação final e observação sobre orientação.
- O valor obtido
corresponde à integral no caso em que é percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), que foi a orientação usada implicitamente ao aplicar o Teorema de Green. - Se alguém percorrer
no sentido oposto (horário), o sinal da integral trocaria, e o valor seria .