Seja
para
um caminho. Considere o campo de vetores radial
i) Encontre a integral curvilínea:
Passo 1
O enunciado nos dá o caminho e o campo e pede a integral curvilínea. Informações importantes (tiradas do enunciado):
- O caminho é
para . - O campo radial é
. - A integral pedida é
- Observação útil (retirada das componentes de
):
Logoque é estritamente positiva em . Portanto a curva não passa pela origem e o campo está bem definido ao longo dela.
Passo 2
Vamos escrever a integranda
de uma forma que fique fácil de integrar. Primeiro uma identidade algebraica muito útil (vale sempre): para qualquer curva com coordenadas
,
Como
, ao avaliá-lo em
obtemos
Usando a identidade acima isso fica
Essa expressão é a derivada do logaritmo da norma:
. Portanto
onde
. (Comentário conceitual: isso também mostra que
, i.e.
é o gradiente do potencial
, então a integral será a diferença do potencial nos extremos.)
Passo 3
Agora substituímos
explicitamente usando o resultado do Passo 1:
Então a integral se torna
Integrando a derivada obtemos o valor em extremos:
Passo 4
Calculemos
e
:
Portanto a integral vale
Como
e
, obtemos a forma final simplificada.