Exercício 9. Encontre o polinômio de Taylor T_{n}(x) para a função f em a.
f(x)=\operatorname{sen} x, a=\frac{\pi}{6} e n=1.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=1 para a função
f(x)=\operatorname{sen}x
em torno do ponto a=\frac{\pi}{6}.
A definição geral do polinômio de Taylor de grau n é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Para n=1 isso vira
T_1(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).

Passo 2

Calculamos primeiro os valores de f e de sua derivada em a:
f(a)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2},
f'(x)=\cos x \quad\Longrightarrow\quad f'(a)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Substituindo em
T_1(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)
com a=\tfrac{\pi}{6}, f(a)=\tfrac12 e f'(a)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
T_1(x)=\tfrac12+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\bigl(x-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

T_{1}(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigl(x-\frac{\pi}{6}\Bigr).

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