Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=(x y z+x) \hat{i}+\left(x^{2} z+y\right) \hat{j}+\left(x^{2} y+z\right) \hat{k} e C é a curva dada pela expressão: \vec{r}(t)=2 t \widehat{i}+t^{2} \widehat{j}+4 t^{3} \widehat{k}, 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y,z)=(xy z + x)\,\hat i + (x^2 z + y)\,\hat j + (x^2 y + z)\,\hat k
e a curva C está parametrizada por
\vec r(t) = 2t\,\hat i + t^2\,\hat j + 4t^3\,\hat k, \quad 0\le t\le 2.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial por parametrização; vamos precisar de \vec r'(t), de \vec F(\vec r(t)) e então computar o produto escalar e integrar de 0 a 2.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter d\vec r:
\vec r'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2t,\,t^2,\,4t^3\bigr) = (2,\,2t,\,12t^2).
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d\vec r = \vec r'(t)\,dt = \bigl(2,\,2t,\,12t^2\bigr)\,dt.

Passo 3

Substituímos x=2t, y=t^2, z=4t^3 em \vec F:
F_x = xy z + x = (2t)(t^2)(4t^3) + 2t = 8t^6 + 2t,
F_y = x^2 z + y = (2t)^2(4t^3) + t^2 = 16t^5 + t^2,
F_z = x^2 y + z = (2t)^2(t^2) + 4t^3 = 4t^4 + 4t^3.
Assim
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(8t^6 + 2t,\;16t^5 + t^2,\;4t^4 + 4t^3\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r'(t):
\bigl(8t^6+2t,\,16t^5+t^2,\,4t^4+4t^3\bigr) \cdot (2,\,2t,\,12t^2).
Computando termo a termo:
(8t^6+2t)\cdot2 = 16t^6 + 4t,
(16t^5+t^2)\cdot2t = 32t^6 + 2t^3,
(4t^4+4t^3)\cdot12t^2 = 48t^6 + 48t^5.
Somando tudo, o integrando é
96t^6 + 48t^5 + 2t^3 + 4t.

Passo 5

Agora integramos de t=0 a t=2:
\int_{0}^{2}\bigl(96t^6 + 48t^5 + 2t^3 + 4t\bigr)\,dt.
Calculando cada termo:
\int0^{2}96t^6\,dt = 96\cdot\frac{2^7}{7}=\frac{12288}{7}, \quad \int0^{2}48t^5\,dt=48\cdot\frac{2^6}{6}=512,
\int0^{2}2t^3\,dt=2\cdot\frac{2^4}{4}=8, \quad \int0^{2}4t\,dt=4\cdot\frac{2^2}{2}=8.
Somando:
\frac{12288}{7} + 512 + 8 + 8 = \frac{12288}{7} + 528 = \frac{12288 + 528\cdot7}{7} = \frac{12288 + 3696}{7} = \frac{15984}{7}.

Resposta

\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \frac{15984}{7}.

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