Prove que a função é harmônica, isto é:
, para:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é harmônica, isto é, que o Laplaciano
vale zero. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
e somá-las.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Usando
, escrevemos
Então
e
Passo 3
Agora derivamos essas expressões em relação a
e a
para obter as segundas derivadas. Primeiro
Passo 4
Em seguida
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas, obtemos
Resposta
Como
, a função
é harmônica.