Prove que a função é harmônica, isto é: vec{\nabla}^{2}(f)=0, para:
f(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
é harmônica, isto é, que o Laplaciano
\vec\nabla^{2}f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}
vale zero. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f e somá-las.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Usando r^{2}=x^{2}+y^{2}, escrevemos
f(x,y)=x\,r^{-2}.
Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,r^{-2}\bigr) =r^{-2} -2x^{2}r^{-4} =\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,r^{-2}\bigr) =-2x\,y\,r^{-4} =\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos essas expressões em relação a x e a y para obter as segundas derivadas. Primeiro
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{y^{2}-x^{2}}{r^{4}}\Bigr) =\frac{2x\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 4

Em seguida
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{-2xy}{r^{4}}\Bigr) =\frac{2x\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas, obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{2x\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)+2x\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}} =\frac{0}{(x^{2}+y^{2})^{3}} =0.

Resposta

Como \vec\nabla^{2}f=0, a função f(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} é harmônica.

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