Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=(x+y z) \widehat{i}+2 x \widehat{j}+x y z \widehat{k} e C é o segmento de reta de ( 1,0,1 ) até ( 2,3,1 ) e de (2, 3, 1) até (2, 5, 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y,z) = (x + y z)\,\hat\imath + 2x\,\hat\jmath + x y z\,\hat k
e C é o caminho constituído de dois segmentos de reta:
  1. De A=(1,0,1) a B=(2,3,1).
  2. De B=(2,3,1) a D=(2,5,2).
    Para resolver usamos parametrização de cada segmento, calculamos \vec r'(t), avaliamos \vec F(\vec r(t)) e fazemos
\int \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Segmento 1: de A a B.
Parametrização
\vec r_1(t) = (1+t,\;3t,\;1),\quad t\in[0,1],
logo
\vec r_1\,'(t) = (1,3,0).
Em \vec r_1(t) temos x=1+t, y=3t, z=1. Então
\vec F(\vec r_1(t)) = \bigl((1+t)+3t\cdot1,\;2(1+t),\;(1+t)\cdot3t\cdot1\bigr) =(1+4t,\;2+2t,\;3t+3t^2).
O produto escalar é
\vec F(\vec r_1(t))\cdot \vec r_1\,'(t) =(1+4t)\cdot1+(2+2t)\cdot3+(3t+3t^2)\cdot0 =7+10t.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(7+10t)\,dt = \bigl[7t+5t^2\bigr]_{0}^{1} = 7+5 = 12.

Passo 3

Segmento 2: de B a D.
Parametrização
\vec r_2(t) = (2,\;3+2t,\;1+t),\quad t\in[0,1],
logo
\vec r_2\,'(t) = (0,2,1).
Em \vec r_2(t) temos x=2, y=3+2t, z=1+t. Então
(3+2t)(1+t)=3+5t+2t^2,
\vec F(\vec r_2(t)) =\bigl(2+(3+2t)(1+t),\;4,\;2\,(3+2t)(1+t)\bigr) =(5+5t+2t^2,\;4,\;6+10t+4t^2).
O produto escalar é
\vec F(\vec r_2(t))\cdot \vec r_2\,'(t) =(5+5t+2t^2)\cdot0 +4\cdot2 + (6+10t+4t^2)\cdot1 =8+6+10t+4t^2 =14+10t+4t^2.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(14+10t+4t^2)\,dt =\bigl[14t+5t^2+\tfrac{4}{3}t^3\bigr]_{0}^{1} =14+5+\tfrac{4}{3} = 19+\tfrac{4}{3} = \tfrac{61}{3}.

Passo 4

Somamos as contribuições dos dois segmentos:
12 + \tfrac{61}{3} = \tfrac{36+61}{3} = \tfrac{97}{3}.

Resposta

\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \frac{97}{3}.

Exercícios relacionados