Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=x y^{2} \widehat{i}+(x+y) \widehat{j} e C é o segmento da reta y=-x da origem até (1,-1) e da curva y=-x^{3} de (1,-1) até (2,-8).

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F=(x\,y^2)\,\hat\imath+(x+y)\,\hat \jmath e C é composto de dois trechos:
C_1: reta y=-x de (0,0) a (1,-1).
C_2: curva y=-x^3 de (1,-1) a (2,-8).
Vamos parametrizar cada trecho, calcular \vec F\bigl(r(t)\bigr), d\vec r e depois integrar \vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

Para o trecho C_1 use
r_1(t)=(t,\,-t),\quad t\in[0,1].
Então
d\vec r_1=(1,\,-1)\,dt, \quad \vec F\bigl(r_1(t)\bigr) =\bigl(t\cdot(-t)^2,\;t+(-t)\bigr) =(t^3,\,0).
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r_1 =t^3\cdot1+0\cdot(-1) = t^3.

Passo 3

Integramos em t de 0 a 1:
\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}t^3\,dt =\frac{1}{4}.

Passo 4

Para o trecho C_2 use
r_2(t)=(t,\,-t^3),\quad t\in[1,2].
Então
d\vec r_2=(1,\,-3t^2)\,dt, \quad \vec F\bigl(r_2(t)\bigr) =\bigl(t\cdot(-t^3)^2,\;t+(-t^3)\bigr) =(t^7,\;t-t^3).
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r_2 =t^7\cdot1+(t-t^3)\cdot(-3t^2) =t^7-3t^3+3t^5 =t^7+3t^5-3t^3.

Passo 5

Integramos em t de 1 a 2:
\int_{C_2}\vec F\cdot d\vec r =\int_{1}^{2}\bigl(t^7+3t^5-3t^3\bigr)\,dt =\Bigl[\frac{t^8}{8}+\frac{t^6}{2}-\frac{3t^4}{4}\Bigr]_{1}^{2} =52+\frac{1}{8} =\frac{417}{8}.

Passo 6

Somando as duas parcelas:
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\frac{1}{4}+\frac{417}{8} =\frac{2}{8}+\frac{417}{8} =\frac{419}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{419}{8}

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