Calcule o trabalho total realizado pelo campo de forças:
\vec{F}=\left(x-y^{2}\right) \widehat{i}+\left(y-z^{2}\right) \widehat{j}+\left(z-x^{2}\right) \widehat{k}, quando leva uma partícula através da curva C, dada pelo segmento de reta de ( 0,0,2 ) até ( 3,1,0 ) e de ( 3,1,0 ) até ( 0,4,0 ).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho feito por um campo de forças \vec{F}=(x-y^{2})\widehat{i}+(y-z^{2})\widehat{j}+(z-x^{2})\widehat{k} ao mover uma partícula ao longo de uma curva C que é a união de dois segmentos retos: de A=(0,0,2) a B=(3,1,0) e de B=(3,1,0) a C=(0,4,0). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar parametrizações de cada segmento para calcular
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
por partes.

Passo 2

Como \vec{F} não é conservativo (por exemplo, \partial P/\partial y=-2y\neq0=\partial Q/\partial x), não há potencial escalar global. Então dividimos
W=\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde C_{1} é de A a B e C_{2} de B a C, e calculamos cada integral por parametrização.

Passo 3

Parametrização de C_{1}: para t\in[0,1],
\vec{r}_{1}(t)=(0,0,2)+t\bigl((3,1,0)-(0,0,2)\bigr)=(3t,\;t,\;2-2t),
então
d\vec{r}_{1}=(3,1,-2)\,dt.
Em \vec{F}\bigl(\vec{r}_{1}(t)\bigr) temos
P=3t-t^{2},\quad Q=t-(2-2t)^{2}=9t-4-4t^{2},\quad R=(2-2t)-9t^{2}.
Logo o produto escalar é
\vec{F}\cdot d\vec{r}_{1} =\bigl(3t-t^{2}\bigr)\cdot3+\bigl(9t-4-4t^{2}\bigr)\cdot1+\bigl((2-2t)-9t^{2}\bigr)\cdot(-2) =11t^{2}+22t-8,
e
\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{1}(11t^{2}+22t-8)\,dt =\Bigl[\tfrac{11}{3}t^{3}+11t^{2}-8t\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{20}{3}.

Passo 4

Parametrização de C_{2}: para s\in[0,1],
\vec{r}_{2}(s)=(3,1,0)+s\bigl((0,4,0)-(3,1,0)\bigr)=(3-3s,\;1+3s,\;0),
então
d\vec{r}_{2}=(-3,3,0)\,ds.
Em \vec{F}\bigl(\vec{r}_{2}(s)\bigr) temos
P=(3-3s)-(1+3s)^{2}=2-9s-9s^{2},\quad Q=1+3s,\quad R=0-(3-3s)^{2}=-9+18s-9s^{2}.
Assim
\vec{F}\cdot d\vec{r}_{2} =-3P+3Q =-3(2-9s-9s^{2})+3(1+3s) =27s^{2}+36s-3,
e
\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{1}(27s^{2}+36s-3)\,ds =\Bigl[9s^{3}+18s^{2}-3s\Bigr]_{0}^{1} =24.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
W=\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\tfrac{20}{3}+24 =\tfrac{20+72}{3} =\tfrac{92}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{92}{3}

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