Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=2 x \widehat{i}+3 y^{2} \widehat{j}+\widehat{k} e C é o traço do elipsóide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=9, no plano x y, do eixo x positivo ao eixo z positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{F}(x,y,z)=2x\,\hat{i}+3y^{2}\,\hat{j}+\hat{k} e C é a curva de interseção do elipsóide
4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=9
com o plano y=0 (plano xz), percorrida do ponto em que C encontra o eixo x positivo até o ponto em que encontra o eixo z positivo.
O conteúdo principal é integral de linha em um campo vetorial, e usaremos parametrização de curvas em coordenadas.

Passo 2

Identificamos que em y=0 a equação do elipsóide vira
4x^{2}+z^{2}=9,
que é uma elipse no plano xz. Os pontos de início e fim são \bigl(x,z\bigr)=(\tfrac{3}{2},0) (eixo x positivo) e (0,3) (eixo z positivo).

Passo 3

Parametrizamos a elipse por um parâmetro \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\bigl\{ \begin{aligned} x(\theta)&=\tfrac{3}{2}\cos\theta,\\\ y(\theta)&=0,\\\ z(\theta)&=3\sin\theta, \end{aligned} \quad \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 4

Calculamos d\vec{r}:
d\vec{r} =\bigl(x'(\theta),\,y'(\theta),\,z'(\theta)\bigr)\,d\theta =\bigl(-\tfrac{3}{2}\sin\theta,\,0,\,3\cos\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Substituímos na força \vec{F}:
\vec{F}\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr) =\bigl(2x(\theta),\,3y(\theta)^{2},\,1\bigr) =\bigl(2\cdot\tfrac{3}{2}\cos\theta,\,0,\,1\bigr) =(3\cos\theta,\,0,\,1).

Passo 6

Calculamos o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r}:
\vec{F}\cdot d\vec{r} =(3\cos\theta)\bigl(-\tfrac{3}{2}\sin\theta\bigr) +1\cdot(3\cos\theta) =\Bigl(-\tfrac{9}{2}\cos\theta\sin\theta+3\cos\theta\Bigr)d\theta.
Reescrevendo -\tfrac{9}{2}\cos\theta\sin\theta=-\tfrac{9}{4}\sin2\theta,
\vec{F}\cdot d\vec{r} =\Bigl(-\tfrac{9}{4}\sin2\theta+3\cos\theta\Bigr)d\theta.

Passo 7

Integramos de \theta=0 a \theta=\tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(-\tfrac{9}{4}\sin2\theta+3\cos\theta\Bigr)d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!-\tfrac{9}{4}\sin2\theta\,d\theta +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!3\cos\theta\,d\theta.
Temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!-\tfrac{9}{4}\sin2\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{9}{8}\cos2\theta\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\tfrac{9}{8}(\cos\pi-\cos0) =\tfrac{9}{8}(-1-1)=-\tfrac{9}{4},
e
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!3\cos\theta\,d\theta =\bigl[3\sin\theta\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =3(1-0)=3.
Somando,
-\tfrac{9}{4}+3 =3-\tfrac{9}{4} =\tfrac{12}{4}-\tfrac{9}{4} =\tfrac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{4}

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