Calcule a integral de linha
, onde:
e
é o traço do elipsóide
, no plano
, do eixo
positivo ao eixo
positivo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a curva de interseção do elipsóide
com o plano
(plano
), percorrida do ponto em que
encontra o eixo
positivo até o ponto em que encontra o eixo
positivo.
O conteúdo principal é integral de linha em um campo vetorial, e usaremos parametrização de curvas em coordenadas.
O conteúdo principal é integral de linha em um campo vetorial, e usaremos parametrização de curvas em coordenadas.
Passo 2
Identificamos que em
a equação do elipsóide vira
que é uma elipse no plano
. Os pontos de início e fim são
(eixo
positivo) e
(eixo
positivo).
Passo 3
Parametrizamos a elipse por um parâmetro
variando de
a
:
Passo 4
Calculamos
:
Passo 5
Substituímos na força
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Reescrevendo
,
Passo 7
Integramos de
a
:
Temos
e
Somando,