Calcule a integral de linha
integral duplaC sen y z d x+x z cos y z d y+x y cos y d z
onde C é a hélice gamma(t)=(cos t, sen t, t), t in[0,2 pi].

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha da forma diferencial ω = sen(yz)
x + xz cos(yz)
y + xy cos(yz)
z ao longo da hélice γ(t)=(cos t,sen t,t), t∈[0,2π]. O conteúdo é campos vetoriais e a verificação de se o campo é conservativo (exato) para usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Precisamos verificar se existe uma função potencial f(x,y,z) tal que df = ω. Para isso, nomeamos P=sen(yz), Q=xz cos(yz) e R=xy cos(yz) e conferimos as condições de exatidão num domínio simplesmente conexo (todo R³).
Calculamos ∂P/∂y e ∂Q/∂x: ambas dão z cos(yz). Depois ∂P/∂z e ∂R/∂x: ambas dão y cos(yz). Finalmente ∂Q/∂z e ∂R/∂y: ambas dão x cos(yz)−xyz sin(yz). Como todas as igualdades de Schwarz se verificam, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos P em relação a x: f(x,y,z)=∫sen(yz)dx = x sen(yz)+h(y,z). Derivando esse f em y e igualando a Q, obtemos h_y=0, logo h=h(z). Derivando em z e comparando a R, vemos que h′(z)=0, então h é constante. Podemos tomar f(x,y,z)=x sen(yz).

Passo 4

Como o caminho γ liga o ponto inicial γ(0)=(1,0,0) ao final γ(2π)=(1,0,2π), a integral de linha vale f(γ(2π))−f(γ(0)). Em ambos os pontos y=0, logo f= x sen(0)=0.
Portanto a integral de linha é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados