Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime-3 y=6 t-9 y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o PVI y'' - 3y = 6t - 9 com y(0)=0 e y'(0)=1. Esse é um problema de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-lo, vamos achar primeiro a solução complementar (homogênea), depois uma solução particular e, por fim, determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar, consideramos a equação homogênea y'' - 3y = 0. Montamos a equação característica
r^2 - 3 = 0
cuja solução é r = pmraiz3. Logo, a solução complementar é
yc(t) = C1 e^raiz3,t + C2 e^-raiz3,t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o segundo membro é um polinômio de grau 1, usamos o palpite
yp(t) = At + B

Passo 4

Calculamos as derivadas: yp' = A e yp'' = 0. Substituindo em y'' - 3y = 6t - 9 temos
0 - 3(At + B) = 6t - 9

Passo 5

Comparando coeficientes de t e termos constantes, vem
-3A = 6 implies A = -2,
-3B = -9 implies B = 3
Então
yp(t) = -2t + 3

Passo 6

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(t) = C1 e^raiz3t + C2 e^-raiz3t - 2t + 3

Passo 7

Vamos achar C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro, calculamos
y'(t) = C1raiz3 e^raiz3t - C2raiz3 e^-raiz3t - 2
Em t=0:
y(0) = C1 + C2 + 3 = 0 implies C1 + C2 = -3,
y'(0) = C1raiz3 - C2raiz3 - 2 = 1 implies (C1 - C2)raiz3 = 3 implies C1 - C2 = raiz3

Passo 8

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -3, C1 - C2 = raiz3,
obtemos
C1 = -3 + raiz32, C2 = -3 - raiz32

Resposta

y(t) = -3 + raiz32,e^raiz3t + -3 - raiz32,e^-raiz3t - 2t + 3

Exercícios relacionados