Encontre a solução do PVI:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o PVI
com
e
. Esse é um problema de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-lo, vamos achar primeiro a solução complementar (homogênea), depois uma solução particular e, por fim, determinar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Para encontrar a solução complementar, consideramos a equação homogênea
. Montamos a equação característica
cuja solução é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular. Como o segundo membro é um polinômio de grau 1, usamos o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas:
e
. Substituindo em
temos
Passo 5
Comparando coeficientes de
e termos constantes, vem
Então
Passo 6
A solução geral é a soma da complementar com a particular:
Passo 7
Vamos achar
e
usando as condições iniciais. Primeiro, calculamos
Em
Passo 8
Resolvendo o sistema
obtemos