Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime+y=t^2 t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
y'' + y = t^3, y(0) = 0, y'(0) = 0
Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando coeficientes não determinados.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, consideramos
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = ,pm i. Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp(t), como o lado direito é um polinômio de grau 3, propomos
yp(t) = A t^3 + B t^2 + C t + D
Calculamos
yp'(t) = 3A t^2 + 2B t + C,
yp''(t) = 6A t + 2B
Substituindo em y'' + y = t^3 resulta
(6A t + 2B) + (A t^3 + B t^2 + C t + D) = t^3
Igualando coeficientes: para t^3 temos A = 1, para t^2 B = 0, para t^1 6A + C = 0 dando C = -6, e para termo constante 2B + D = 0 dando D = 0. Assim
yp(t) = t^3 - 6t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t + t^3 - 6t
Aplicando as condições iniciais:
Para t=0, y(0)=0 implica C1 = 0.
Derivando,
y'(t) = -C1 sin t + C2 cos t + 3t^2 - 6,
e em t=0, y'(0)=0 C2 - 6 = 0 ou C2 = 6.
Portanto a solução do PVI é
final_answer:" y(t) = 6sin t + t^3 - 6t".

Passo 5

final_answer:" y(t) = 6sin t + t^3 - 6t"

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