Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=lang<= y, x, zrang<= e S é o paraboloide z=1-x^2-y^2, com x^2+y^2 <= 1 e orientação para cima.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de superfície ∬_S F·dS, onde F(x,y,z)=⟨y,x,z⟩ e S é o gráfico do paraboloide z=1−x²−y² sobre o disco x²+y²≤1, com orientação para cima. O conteúdo envolvido é integral de superfície de campo vetorial sobre superfície parametrizada como z=g(x,y).

Passo 2

Para superfícies dadas por z=g(x,y) orientadas para cima, usamos a fórmula
integral duplaS Fcdot d S = integral duplaD l[-P,gx - Q,gy + Rr],dA,
onde F=lang<= P,Q,Rrang<= e D é a projeção de S no plano xy.

Passo 3

Aqui g(x,y)=1−x²−y². Calculamos as derivadas parciais:
gx = -2x, gy = -2y

Passo 4

Substituindo na fórmula do integrando temos:
-P,gx - Q,gy + R = -y(-2x) - x(-2y) + z = 2xy + 2xy + z = 4xy + z

Passo 5

Como z=1−x²−y² sobre S, o integrando vira
f(x,y)=4xy + (1 - x^2 - y^2) = 1 - x^2 - y^2 + 4xy

Passo 6

Agora parametrizamos no disco usando coordenadas polares: x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r,dr,dθ e x²+y²=r², xy=\tfrac12 r²\sin2θ. Então:
f = 1 - r^2 + 4cdotr^22sin2θ = 1 - r^2 + 2r^2sin2θ

Passo 7

A integral fica
integral duplaD f(x,y)dA = integral0^2piintegral0^1 l(1 - r^2 + 2r^2sin2θr)r,dr,dθ

Passo 8

Separando termos:
  • O termo com sin2θ dá zero após a integração em θ.
  • Resta
integral0^2piintegral0^1(r - r^3),dr,dθ = integral0^2pil[tfrac12 - tfrac14r]dθ = integral0^2pitfrac14,dθ = tfrac14cdot2pi = tfracpi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados