Calcule
, onde
e
é o paraboloide
, com
e orientação para cima.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de superfície ∬_S F·dS, onde F(x,y,z)=⟨y,x,z⟩ e S é o gráfico do paraboloide z=1−x²−y² sobre o disco x²+y²≤1, com orientação para cima. O conteúdo envolvido é integral de superfície de campo vetorial sobre superfície parametrizada como z=g(x,y).
Passo 2
Para superfícies dadas por z=g(x,y) orientadas para cima, usamos a fórmula
onde
e D é a projeção de S no plano xy.
Passo 3
Aqui g(x,y)=1−x²−y². Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo na fórmula do integrando temos:
Passo 5
Como z=1−x²−y² sobre S, o integrando vira
Passo 6
Agora parametrizamos no disco usando coordenadas polares: x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r,dr,dθ e x²+y²=r², xy=\tfrac12 r²\sin2θ. Então:
Passo 7
A integral fica
Passo 8
Separando termos:
- O termo com
dá zero após a integração em θ. - Resta