Calcule a integral de linha , onde e é a curva, orientada positivamente, de interseção do plano com o cilindro .
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de linha , onde e é a curva fechada de interseção do cilindro com o plano , orientada positivamente. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de um campo vetorial ao fluxo do rotacional através de uma superfície limitada por .
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Stokes precisamos do rotacional de . Calculando
Passo 3
Escolhemos como superfície S a região planar interna a C. O plano tem vetor normal vec N=(4,2,1) com componente em z positiva, garantindo que a orientação de C seja a indicada. Pelo Teorema de Stokes:
ointC vec Fcdot dvec r = integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS
Passo 4
Para evitar lidar com hat n e dS diretamente, projetamos em xy-plano. Usa-se