Calcule a integral de linha integral F d r, onde F(x, y, z)=(-z, y^3,-x^2) e C é a curva, orientada positivamente, de interseção do plano 4x+2y+z=2 com o cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y,z)=(-z,y^3,-x^2) e C é a curva fechada de interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o plano 4x+2y+z=2, orientada positivamente. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de um campo vetorial ao fluxo do rotacional através de uma superfície limitada por C.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Stokes precisamos do rotacional de vec F. Calculando
nablatimesvec F = partialpartial y(-x^2)-partialpartial z(y^3) partialpartial z(-z)-partialpartial x(-x^2) partialpartial x(y^3)-partialpartial y(-z) = 0-0(-1)-(-2x)0-0 = 02x-10

Passo 3

Escolhemos como superfície S a região planar interna a C. O plano tem vetor normal vec N=(4,2,1) com componente em z positiva, garantindo que a orientação de C seja a indicada. Pelo Teorema de Stokes:
ointC vec Fcdot dvec r = integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS

Passo 4

Para evitar lidar com hat n e dS diretamente, projetamos em xy-plano. Usa-se
(nablatimesvec F)cdotvec N,dA = (0,2x-1,0)cdot(4,2,1),dA = (4x-2),dA

Passo 5

A região projetada é o disco D:,x^2+y^2<=4. Então
$$\oint_C\vec F\cdot d\vec r = \iint_D (4x-2),dA.
$$

Passo 6

Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta), temos
$$\iint_D4x,dA =4\int_0{2\pi}\int_02 (r\cos\theta)r,dr,d\theta=4\int_0{2\pi}\cos\theta,d\theta\int_02 r^2,dr=0,
$$pois integral duplaD4x,dA =4integral0^2piintegral0^2 (rcostheta)r,dr,dtheta=4integral0^2picostheta,dthetaintegral0^2 r^2,dr=0, . E
$$\iint_D(-2),dA = -2\cdotárea(D) = -2\cdot (\pi\cdot2^2)= -8\pi.
$$

Passo 7

Somando os dois resultados sai
ointCvec Fcdot dvec r = 0 + (-8pi) = -8pi

Resposta

-8\pi

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