(1) Seja
a superfície do parabolóide
que está no primeiro octante.
Calcule a área da superfície
.
Calcule a área da superfície
Passo 1
A questão pede a área da parte do parabolóide
que fica no primeiro octante. O conteúdo aqui é área de superfície de uma função
, e vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Precisamos primeiro determinar a projeção
no plano
. Como estamos no primeiro octante e
, resolvemos
, obtendo
. Logo,
é o quarto de disco de raio 2 em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
e
. Assim o integrando fica
em coordenadas polares
. O elemento de área é
, com
e
.
Passo 4
O integral se torna
Passo 5
Integramos em
por substituição: seja
, então
. Isso leva a
Passo 6
Faltando apenas multiplicar pelo ângulo
, vem
Resposta
A área da superfície é
.