(1) Seja S a superfície do parabolóide z=12-3x^2-3y^2 que está no primeiro octante.
Calcule a área da superfície S.

Passo 1

A questão pede a área da parte do parabolóide z=12-3x^2-3y^2 que fica no primeiro octante. O conteúdo aqui é área de superfície de uma função z=f(x,y), e vamos usar a fórmula A=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA.

Passo 2

Precisamos primeiro determinar a projeção D no plano xy. Como estamos no primeiro octante e z>=0, resolvemos 12-3x^2-3y^2=0, obtendo x^2+y^2=4. Logo, D é o quarto de disco de raio 2 em x>=0, y>=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: fx=-6x e fy=-6y. Assim o integrando fica raiz1+36x^2+36y^2=raiz1+36r^2 em coordenadas polares (x=rcosθ, y=rsinθ). O elemento de área é dA=r,dr,dθ, com 0<= r<=2 e 0<= θ<=tfracπ2.

Passo 4

O integral se torna
A=integral0^π/2integral0^2rraiz1+36r^2,dr,dθ

Passo 5

Integramos em r por substituição: seja u=1+36r^2, então du=72r,dr. Isso leva a
integral0^2rraiz1+36r^2,dr=172integralu(0)=1^u(2)=145u^1/2,du=1108l[u^3/2r]1^145=145^3/2-1108

Passo 6

Faltando apenas multiplicar pelo ângulo integral0^π/2dθ=π/2, vem
A=π2cdot145^3/2-1108=π,(145^3/2-1)216

Resposta

A área da superfície é A=dfracπ(145^3/2-1)216.

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