Calcule
onde
e
são como abaixo.
e
é a região comum às esferas
e
0 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para calcular uma integral tripla de uma função
sobre uma região
que é a interseção de duas esferas. As equações dessas esferas são:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando trabalhamos com esferas. Também precisaremos entender bem como descrever a região
onde as duas esferas se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a segunda equação da esfera:
Podemos completar o quadrado para
:
Então, a segunda esfera é centrada no ponto
com raio
. Já a primeira esfera está centrada na origem
também com raio
. A região
é a parte comum às duas esferas.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é:
Nossa função a integrar
fica:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
Como a região
é a interseção de duas esferas iguais, o limite para
é de
a
.
Para
, vamos de
a
.
O mais complicado é determinar o limite para
. Observando as duas esferas:
-
(primeira esfera) -
(segunda esfera rearranjada)
Portanto,
vai de
até o mínimo entre
e
. Além disso, para que
, precisamos que
, ou seja,
vai de
a
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Segundo, a integral em
:
Terceiro, a integral em
:
Para resolver
, fazemos substituição:
Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla é
.