Calcule
integral triplaOmega f(x, y, z) d x d y d z,
onde f e Omega são como abaixo.
f(x, y, z)=z^2 e Omega é a região comum às esferas x^2+y^2+z^2 <= a^2 e x^2+y^2+z^2-2 a z <= 0 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para calcular uma integral tripla de uma função sobre uma região que é a interseção de duas esferas. As equações dessas esferas são:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando trabalhamos com esferas. Também precisaremos entender bem como descrever a região onde as duas esferas se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a segunda equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 - 2a z <= 0
Podemos completar o quadrado para x^2 + y^2 + (z^2 - 2a z) <= 0 :
x^2 + y^2 + (z - a)^2 - a^2 <= 0
x^2 + y^2 + (z - a)^2 <= a^2
Então, a segunda esfera é centrada no ponto com raio . Já a primeira esfera está centrada na origem também com raio . A região é a parte comum às duas esferas.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Nossa função a integrar f(rho, phi) = (rho cosphi)^2 = rho^2 cos^2phi fica:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para , e .
Como a região é a interseção de duas esferas iguais, o limite para é de a .
Para , vamos de a .
O mais complicado é determinar o limite para . Observando as duas esferas:
  1. (primeira esfera)
  2. (segunda esfera rearranjada)
Portanto, vai de até o mínimo entre e . Além disso, para que , precisamos que , ou seja, vai de a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla:
integral triplaOmega z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^a rho^2 cos^2phi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi2 cos^2phi sinphi , dphi cdot integral0^a rho^4 , drho

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^a rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^a = a^55
Segundo, a integral em -integral1^0 u^2 , du = integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13 :
Terceiro, a integral em :
Para resolver , fazemos substituição:
Seja , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
2pi times 13 times a^55 = 2pi a^515

Resposta

O valor da integral tripla é .

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