Calcule
integral triplaOmega f(x, y, z) d x d y d z,
onde f e Omega são como abaixo.
f(x, y, z)=x^2 e Omega é a região delimitada por x=2 e 2 x=4 y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores de uma função em todo um espaço tridimensional. Aqui, a função é e a região onde vamos integrar é delimitada por e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas e entender bem os limites de integração dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação pode ser reescrita como . Isso nos mostra como varia em relação a e . Além disso, sabemos que vai até . Então, nosso intervalo para é de a .

Passo 3

Agora, para cada valor de y^2 = x - z^222 Rightarrow y = pm raizx2 - z^24 , precisamos determinar os limites para e . A partir de , podemos resolver para :
Isso nos dá os limites de em função de e .

Passo 4

Para encontrar os limites de , vamos observar que . Como varia até , o valor máximo de é , então varia de a .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar é integral0^2 integral-raizx2^raizx2 integral-2^2 x^2 , dz , dy , dx . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a integral-2^2 x^2 , dz = x^2 cdot (2 - (-2)) = 4x^2 . Como não depende de , a integral em será:

Passo 7

Agora, plugamos esse resultado na integral e seguimos integrando em integral0^2 integral-raizx2^raizx2 4x^2 , dy , dx :
integral-raizx2^raizx2 4x^2 , dy = 4x^2 cdot ( raizx2 - (-raizx2) ) = 8x^2 raizx2
A integral em também é simples, já que não depende de :

Passo 8

Simplificando a expressão:
8x^2 raizx2 = 8x^2 cdot raizxraiz2 = 8raiz2 x^2.5 = 4raiz2 , x^2.5
Agora, vamos integrar em integral0^2 4raiz2 , x^2.5 , dx :
4raiz2 cdot 27 x^3.5 |0^2 = 8raiz27 (2^3.5 - 0) = 8raiz27 cdot 2^3.5
A integral de é , então:

Passo 9

Simplificando mais:
2^3.5 = 2^3 cdot 2^0.5 = 8 cdot raiz2 = 8raiz2
Então:
8raiz27 cdot 8raiz2 = 64 cdot 27 = 1287

Resposta

O valor da integral tripla é .

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