onde e são como abaixo. e é a região delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores de uma função em todo um espaço tridimensional. Aqui, a função é e a região onde vamos integrar é delimitada por e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas e entender bem os limites de integração dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A equação pode ser reescrita como . Isso nos mostra como varia em relação a e . Além disso, sabemos que vai até . Então, nosso intervalo para é de a .
Passo 3
Agora, para cada valor de , precisamos determinar os limites para e . A partir de , podemos resolver para :
Isso nos dá os limites de em função de e .
Passo 4
Para encontrar os limites de , vamos observar que . Como varia até , o valor máximo de é , então varia de a .
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar é . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a . Como não depende de , a integral em será:
Passo 7
Agora, plugamos esse resultado na integral e seguimos integrando em :
A integral em também é simples, já que não depende de :