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Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(a) F(x, y)=x y i+3 y^2 j, r(t)=11 t i+t^3 j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot d r onde o campo vetorial é F(x,y)=xy, i+3y^2, j e a curva C está parametrizada por r(t)=11t, i+t^3, j, com 0<= t<=1. O tema é integrais de linha de campos vetoriais e vamos precisar: parametrizar, derivar r(t), avaliar F ao longo de r(t), fazer produto escalar e integrar.

Passo 2

Primeiro, derivamos a curva para achar r'(t). Como r(t)=11t, i+t^3, j, sua derivada é
r'(t)=11, i+3t^2, j
Essa r'(t) nos diz a direção e velocidade ao percorrer a curva.

Passo 3

Agora, avaliamos o campo F em cada ponto da curva: substituímos x=11t e y=t^3 em F(x,y)=xy, i+3y^2, j. Assim,
F( r(t))=(11t),(t^3), i+3(t^3)^2, j=11t^4, i+3t^6, j

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
l(11t^4, i+3t^6, jr)cdotl(11, i+3t^2, jr)=11t^4cdot11+3t^6cdot3t^2=121t^4+9t^8

Passo 5

Por fim, montamos a integral em t de 0 a 1:
integral0^1l(121t^4+9t^8r),dt=121integral0^1t^4dt+9integral0^1t^8dt=121[t^55]0^1+9[t^99]0^1=1215+1

Resposta

\frac{126}{5}

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