Encontre a derivada das funções dadas.
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Passo 1
Temos 18 funções para derivar, usando as regras de derivação: soma, constante, potência, produto, quociente, cadeia, valor absoluto e derivadas de funções elementares (trigonométricas e inversas).
Passo 2
Aplicando a regra da soma, constante e potência às funções polinomiais e potências: f₁(x)=3x²+6x−10 → f₁’(x)=6x+6;
f₂(x)=14−½x^(−3) → f₂’(x)= (−½)(−3)x(−4)=3/2·x(−4);
f₁₀(x)=3x(−4)+5x(−5) → f₁₀’(x)=−12x(−5)−25x(−6);
f₁₁(x)= (x⁴/2)·(2/x⁶)=x^(−2) → f₁₁’(x)=−2x^(−3).
f₂(x)=14−½x^(−3) → f₂’(x)= (−½)(−3)x(−4)=3/2·x(−4);
f₁₀(x)=3x(−4)+5x(−5) → f₁₀’(x)=−12x(−5)−25x(−6);
f₁₁(x)= (x⁴/2)·(2/x⁶)=x^(−2) → f₁₁’(x)=−2x^(−3).
Passo 3
Usando a regra do produto em funções que são produto de polinômios ou potências:
f₃(x)=(2x+1)(3x²+6) → f₃’=2·(3x²+6)+(2x+1)·6x=18x²+6x+12;
f₄(x)=(7x−1)(x+4) → f₄’=7(x+4)+(7x−1)·1=14x+27;
f₅(x)= (2/3)(5x−3)^(−1)(5x+3) → f₅’=(2/3)[−5(5x−3)(−2)(5x+3)+(5x−3)(−1)·5]=−20/(5x−3)²;
f₆(x)=(x²−1)(3x−1)(5x³+2x) → f₆’=(9x²−2x−3)(5x³+2x)+(x²−1)(3x−1)(15x²+2);
f₉(x)= (x+1)/(x+2)·(3x²+6x) com u=(x+1)/(x+2), v=3x²+6x → u’=1/(x+2)², v’=6x+6 ⇒ f₉’= (3x²+6x)/(x+2)² + (x+1)/(x+2)·(6x+6).
f₃(x)=(2x+1)(3x²+6) → f₃’=2·(3x²+6)+(2x+1)·6x=18x²+6x+12;
f₄(x)=(7x−1)(x+4) → f₄’=7(x+4)+(7x−1)·1=14x+27;
f₅(x)= (2/3)(5x−3)^(−1)(5x+3) → f₅’=(2/3)[−5(5x−3)(−2)(5x+3)+(5x−3)(−1)·5]=−20/(5x−3)²;
f₆(x)=(x²−1)(3x−1)(5x³+2x) → f₆’=(9x²−2x−3)(5x³+2x)+(x²−1)(3x−1)(15x²+2);
f₉(x)= (x+1)/(x+2)·(3x²+6x) com u=(x+1)/(x+2), v=3x²+6x → u’=1/(x+2)², v’=6x+6 ⇒ f₉’= (3x²+6x)/(x+2)² + (x+1)/(x+2)·(6x+6).
Passo 4
Aplicando a regra do quociente nas funções racionais simples:
f₇(x)=(2x+4)/(3x−1) → f₇’= [2(3x−1)−3(2x+4)]/(3x−1)²=−14/(3x−1)²;
f₈(t)=(3t²+5t−1)/(t−1) → f₈’= [(6t+5)(t−1)−(3t²+5t−1)]/(t−1)²=(3t²−6t−4)/(t−1)²;
f₁₇(x)=(x−a)²/(x−b) → f₁₇’= [2(x−a)(x−b)−(x−a)²]/(x−b)².
f₇(x)=(2x+4)/(3x−1) → f₇’= [2(3x−1)−3(2x+4)]/(3x−1)²=−14/(3x−1)²;
f₈(t)=(3t²+5t−1)/(t−1) → f₈’= [(6t+5)(t−1)−(3t²+5t−1)]/(t−1)²=(3t²−6t−4)/(t−1)²;
f₁₇(x)=(x−a)²/(x−b) → f₁₇’= [2(x−a)(x−b)−(x−a)²]/(x−b)².
Passo 5
Derivadas que exigem cadeia, valor absoluto e funções compostas:
f₁₂(x)=x|x+1|−1 → f₁₂’={2x+1, x≥−1; −2x−1, x<−1}.
f₁₃(x)= (x²+1)^(1/3)/arccot(3x) com u=(x²+1)^(1/3), v=arccot(3x) → u’=2x/[3(x²+1)^(2/3)], v’=-3/(1+9x²) ⇒ f₁₃’=(u’v−u v’)/v².
f₁₄(x)= [arcsin²(x/√(1−x²))]^(1/3) → derivar em cadeia: f’= (1/3)[arcsin²(z)]^(−2/3)·2 arcsin(z)·(z’/√(1−z²)), z=x/(√(1−x²)).
f₁₅(x)= (1−2√(3+x⁶))^(1/5) → f’= (1/5)(1−2√(3+x⁶))(−4/5)·[−2·(1/2)(3+x⁶)(−1/2)·6x⁵]= −6x⁵/[5√(3+x⁶)(1−2√(3+x⁶))^(4/5)].
f₁₆(x)= tan(√x) + arccos(x)/[(x−1)sec³(4x)] → primeira parte: sec²(√x)·(1/(2√x)); segunda parte aplicando quociente com p=arccos(x), q=(x−1)sec³(4x) ⇒ f₁₆’=[p’ q − p q’]/q² com p’=-1/√(1−x²) e q’=sec³(4x)+12(x−1)sec³(4x)tan(4x).
f₁₈®=πr² → f₁₈’®=2πr.
f₁₂(x)=x|x+1|−1 → f₁₂’={2x+1, x≥−1; −2x−1, x<−1}.
f₁₃(x)= (x²+1)^(1/3)/arccot(3x) com u=(x²+1)^(1/3), v=arccot(3x) → u’=2x/[3(x²+1)^(2/3)], v’=-3/(1+9x²) ⇒ f₁₃’=(u’v−u v’)/v².
f₁₄(x)= [arcsin²(x/√(1−x²))]^(1/3) → derivar em cadeia: f’= (1/3)[arcsin²(z)]^(−2/3)·2 arcsin(z)·(z’/√(1−z²)), z=x/(√(1−x²)).
f₁₅(x)= (1−2√(3+x⁶))^(1/5) → f’= (1/5)(1−2√(3+x⁶))(−4/5)·[−2·(1/2)(3+x⁶)(−1/2)·6x⁵]= −6x⁵/[5√(3+x⁶)(1−2√(3+x⁶))^(4/5)].
f₁₆(x)= tan(√x) + arccos(x)/[(x−1)sec³(4x)] → primeira parte: sec²(√x)·(1/(2√x)); segunda parte aplicando quociente com p=arccos(x), q=(x−1)sec³(4x) ⇒ f₁₆’=[p’ q − p q’]/q² com p’=-1/√(1−x²) e q’=sec³(4x)+12(x−1)sec³(4x)tan(4x).
f₁₈®=πr² → f₁₈’®=2πr.
Resposta
f₁’(x)=6x+6; f₂’(x)=3/2·x^(−4); f₃’(x)=18x²+6x+12; f₄’(x)=14x+27; f₅’(x)=−20/(5x−3)²; f₆’(x)=(9x²−2x−3)(5x³+2x)+(x²−1)(3x−1)(15x²+2); f₇’(x)=−14/(3x−1)²; f₈’(t)=(3t²−6t−4)/(t−1)²; f₉’(x)=(3x²+6x)/(x+2)²+6(x+1)²/(x+2); f₁₀’(x)=−12x(−5)−25x(−6); f₁₁’(x)=−2x^(−3); f₁₂’(x)=
f₁₃’(x)=(2x/[3(x²+1)(2/3)]·arccot(3x)+(x²+1)(1/3)·3/(1+9x²))/[arccot(3x)]²; f₁₄’(x)=(2/3)arcsin(z)·[arcsin²(z)]^(−2/3)·z’/√(1−z²), z=x/√(1−x²); f₁₅’(x)=−6x⁵/[5√(3+x⁶)(1−2√(3+x⁶))^(4/5)]; f₁₆’(x)=sec²(√x)/(2√x)+[−1/√(1−x²)·q − arccos(x)·q’]/q², q=(x−1)sec³(4x); f₁₇’(x)=[2(x−a)(x−b)−(x−a)²]/(x−b)²; f₁₈’®=2πr