Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
(f) .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde
e a curva é dada pela parametrização , com .
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais, e vamos precisar calcular , avaliar e montar o produto escalar.
Passo 2
Para começar, calculamos
logo
E
O produto escalar é
Passo 3
A integral fica
Vamos tratar cada termo separadamente.
Passo 4
Para o primeiro termo, use a substituição , . Os limites vão de a , logo
Passo 5
No segundo termo, faça , . Quando , ; quando , . Então
Como é função par,
Integramos por partes:
Multiplicando por -2) dá
-2l(ln2-2+tfracpi2r)=-2ln2+4-pi
Passo 6
No terceiro termo, use w=t^2, dw=2t,dt. Quando t=0, w=0; quando t=pi, w=pi^2. Então