Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(f) F(x, y, z)=e^x i+ln (1+y^2) j+cos z k, r(t)=sen t i+cos t j+t^2 k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr, onde
F(x,y,z)=e^x,i+ln(1+y^2),j+cos z,k
e a curva C é dada pela parametrização r(t)=sin t,i+cos t,j+t^2,k, com 0<= t<=pi.
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais, e vamos precisar calcular r'(t), avaliar F(r(t)) e montar o produto escalar.

Passo 2

Para começar, calculamos
F(r(t))cdotr'(t)=e^sin tcos t-ln(1+cos^2 t),sin t+2tcos(t^2)
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E

O produto escalar é

Passo 3

A integral fica
integral0^pi e^sin tcos t,dt-integral0^piln(1+cos^2 t)sin t,dt+integral0^pi2tcos(t^2),dt
Vamos tratar cada termo separadamente.

Passo 4

Para o primeiro termo, use a substituição u=sin t, du=cos t,dt. Os limites vão de u(0)=0 a u(pi)=0, logo
integral0^pi e^sin tcos t,dt=integral0^0 e^u,du=0

Passo 5

No segundo termo, faça v=cos t, dv=-sin t,dt. Quando t=0, v=1; quando t=pi, v=-1. Então
-integral0^piln(1+cos^2 t)sin t,dt=integral1^-1ln(1+v^2),dv=-integral-1^1ln(1+v^2),dv
Como ln(1+v^2) é função par,
-integral-1^1ln(1+v^2),dv=-2integral0^1ln(1+v^2),dv
Integramos por partes:
integral0^1ln(1+x^2),dx=xln(1+x^2)|0^1-2integral0^1x^21+x^2,dx=ln2-2l(1-tfracpi4r)=ln2-2+tfracpi2
Multiplicando por -2)
-2l(ln2-2+tfracpi2r)=-2ln2+4-pi

Passo 6

No terceiro termo, use w=t^2, dw=2t,dt. Quando t=0, w=0; quando t=pi, w=pi^2. Então
integral0^pi2tcos(t^2),dt=integral0^pi^2cos w,dw=sin w|0^pi^2=sin(pi^2)

Passo 7

Somando os três resultados:
0+l(-2ln2+4-pir)+sin(pi^2)=4-pi-2ln2+sin(pi^2)

Resposta

4-\pi-2\ln2+\sin\bigl(\pi^2\bigr)

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