Considere a série numérica
sumn=1^infty 15(1n(n+1))
a) Escreva a soma s5 dos primeiros 5 termos desta série;

Passo 1

A questão dá uma série numérica telescópica de índice n, sumn=1^inftytfrac15l(tfrac1n(n+1)r). O assunto é séries telescópicas e vamos usar decomposição em frações parciais para somar os cinco primeiros termos.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral tfrac1n(n+1) em frações parciais. Isso é padrão:
1n(n+1)=An+Bn+1

Passo 3

Encontrando A e B:
1n(n+1)=A(n+1)+Bnn(n+1)implies A(n+1)+Bn=1

Passo 4

Comparando coeficientes, para todo n vale
A+B=0, A=1implies B=-1

Passo 5

Logo
1n(n+1)=1n-1n+1

Passo 6

Agora escrevemos a soma parcial dos cinco primeiros termos, lembrando do fator 1/5:
s5=sumn=1^515l(1n-1n+1r)

Passo 7

Na forma telescópica isso fica
s5=15l((1-tfrac12)+(tfrac12-tfrac13)+(tfrac13-tfrac14)+(tfrac14-tfrac15)+(tfrac15-tfrac16)r)

Passo 8

Repare que tudo cancela, sobrando
[s_5=\frac{1}{5}\Bigl(1-\tfrac{1}{6}\Bigr)=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.

Resposta

s5=tfrac16

Exercícios relacionados