Passe para coordenadas polares e calcule.
integral0^1 integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1 integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x,y,dy,dx
usando coordenadas polares. Precisamos lembrar que em coordenadas polares vale
x = rcostheta,
y = rsintheta
e o elemento de área dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Para descrever a região de integração, note que as curvas y = 1 pm raiz1-x^2
definem o círculo
x^2 + (y-1)^2 = 1
cuja forma em polares é
r^2 = 2rsintheta Rightarrow r = 2sintheta
Como x>=0 e r>=0, temos costheta>=0 e sintheta>=0. Logo
0 <= theta <= tfracpi2,
0 <= r <= 2sintheta

Passo 3

Substituindo x, y e dA na integral, obtemos
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2sintheta(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = integral0^pi/2integral0^2sinthetar^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^2sinthetar^3,dr = r^44|0^2sintheta = 4sin^4theta
A integral passa a ser
4integral0^pi/2sin^5thetacostheta,dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta e os limites vão de u=0 a u=1, temos
4integral0^1u^5,du = 4cdot16 = 23

Resposta

tfrac23

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