Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
(e) .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre a curva parametrizada por , com . O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em espaço, e vamos usar a parametrização: .
Passo 2
Primeiro, calculo a derivada da curva:
Depois, avalio o campo ao longo da curva:
Passo 3
Faço o produto escalar :
Assim, nossa integral vira
Passo 4
Agora separamos em partes:
integral0^1ln(1+t)dt por partes (u=ln(1+t), dv=dt) dá 2ln2-1.
integral0^1tln(1+t)dt por partes (u=ln(1+t), dv=t,dt) dá tfrac14, e multiplicando por -2 vem -tfrac12.
A parte integral0^1e^t^2t+1dt não tem primitiva elementar, então deixamos em forma de integral definida.
Passo 5
Somando os termos que acharam valor fechado, tfrac12+(2ln2-1)-tfrac12=2ln2-1, e acrescendo a parte não elementar, obtemos a resposta final.
Resposta
integralC Fcdot d r = 2ln2 -1 + integral0^1 e^t^2t+1,dt