Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(e) F(x, y, z)=z i+(x^2-z) j+e^y k, r(t)=t i+t^2 j+ln (t+1) k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot d r de um campo vetorial F(x,y,z)=z, i+(x^2-z), j+e^y, k sobre a curva parametrizada por r(t)=t, i+t^2, j+ln(t+1), k, com 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em espaço, e vamos usar a parametrização: integralC Fcdot d r=integral0^1 F( r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada da curva:
r'(t)=ddtl(t,,t^2,,ln(t+1)r)=(1,,2t,,tfrac1t+1),
Depois, avalio o campo ao longo da curva:
F( r(t))=l(z,,x^2-z,,e^yr)substackx=ty=t^2z=ln(1+t)=l(ln(1+t),,t^2-ln(1+t),,e^t^2r),

Passo 3

Faço o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
ln(1+t)cdot1;+l(t^2-ln(1+t)r)cdot2t;+,e^t^2cdottfrac1t+1 =2t^3 +ln(1+t)-2tln(1+t)+e^t^2t+1,
Assim, nossa integral vira
integral0^1l(2t^3 +ln(1+t)-2tln(1+t)+e^t^2t+1r)dt

Passo 4

Agora separamos em partes:
  1. integral0^1 2t^3 dt=ltfract^42r|0^1=tfrac12
  2. integral0^1ln(1+t)dt por partes ( u=ln(1+t), dv=dt) dá 2ln2-1.
  3. integral0^1tln(1+t)dt por partes ( u=ln(1+t), dv=t,dt) dá tfrac14, e multiplicando por -2 vem -tfrac12.
  4. A parte integral0^1e^t^2t+1dt não tem primitiva elementar, então deixamos em forma de integral definida.

Passo 5

Somando os termos que acharam valor fechado, tfrac12+(2ln2-1)-tfrac12=2ln2-1, e acrescendo a parte não elementar, obtemos a resposta final.

Resposta

integralC Fcdot d r = 2ln2 -1 + integral0^1 e^t^2t+1,dt

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