Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
(I)
:
.
(I)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é a função
. A curva
é dada por uma função vetorial
com
,
,
para
variando de
a
. Vamos usar o conceito de integral de linha para resolver isso, que basicamente envolve parametrizar a curva e integrar a função ao longo dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a função que vamos integrar em termos do parâmetro
. A função é
. Como
,
e
, substituímos esses valores na função:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de arco
. Para isso, encontramos a derivada da função vetorial
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a magnitude da derivada
, que é a norma do vetor:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Agora, montamos a integral de linha substituindo
e
:
Passo 6
Observamos que
, então a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de
a
:
Resposta
Portanto, a integral de linha é: