Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(I) integralC(x^2+y^2+z^2) d s, C : x=t, y=cos 2 t, z=sen 2 t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde F é a função x^2 + y^2 + z^2. A curva C é dada por uma função vetorial r(t) com x = t, y = cos(2t), z = sin(2t) para t variando de 0 a 2pi. Vamos usar o conceito de integral de linha para resolver isso, que basicamente envolve parametrizar a curva e integrar a função ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função que vamos integrar em termos do parâmetro t. A função é f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Como x = t, y = cos(2t) e z = sin(2t), substituímos esses valores na função:
f(t) = t^2 + cos^2(2t) + sin^2(2t)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco ds. Para isso, encontramos a derivada da função vetorial r(t):
r'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<= = lang<= 1, -2sin(2t), 2cos(2t) rang<=

Passo 4

Em seguida, calculamos a magnitude da derivada r'(t), que é a norma do vetor:
|r'(t)| = raiz1^2 + (-2sin(2t))^2 + (2cos(2t))^2 = raiz1 + 4sin^2(2t) + 4cos^2(2t)
Simplificando a expressão dentro da raiz:
4sin^2(2t) + 4cos^2(2t) = 4(sin^2(2t) + cos^2(2t)) = 4 times 1 = 4
Então,
|r'(t)| = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 5

Agora, montamos a integral de linha substituindo f(t) e |r'(t)|:
integralC f(x, y, z) , ds = integral0^2pi (t^2 + cos^2(2t) + sin^2(2t)) cdot raiz5 , dt

Passo 6

Observamos que cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1, então a integral simplifica para:
raiz5 integral0^2pi (t^2 + 1) , dt

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
integral0^2pi (t^2 + 1) , dt = integral0^2pi t^2 , dt + integral0^2pi 1 , dt
Calculando cada parte:
integral t^2 , dt = t^33 e integral 1 , dt = t
Avaliado de 0 a 2pi:
t^33 |0^2pi + t |0^2pi = (2pi)^33 - 0 + 2pi - 0 = 8pi^33 + 2pi

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
raiz5 ( 8pi^33 + 2pi )

Exercícios relacionados