Determine a inversa das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(x) = x^4 $ com $ x > 0 $. A missão aqui é encontrar a função inversa dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como a gente pode descobrir qual é ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por $ f^{-1}(x) $, “desfaz” o que a função original faz. Ou seja, se $ f(x) $ transforma $ x $ em $ x^4 $, então $ f^{-1}(x) $ vai transformar $ x^4 $ de volta em $ x $.
Passo 3
Para encontrar a inversa, começamos substituindo $ f(x) $ por $ y $:
Agora, queremos isolar $ x $ em termos de $ y $. Isso significa que precisamos “desfazer” a operação de elevar $ x $ à quarta potência.
Passo 4
Para desfazer a potência, a gente usa a raiz. Como a função original é $ x^4 $, a inversa vai envolver a raiz quarta. Então, tiramos a raiz quarta dos dois lados da equação:
Ou, de forma equivalente:
Passo 5
Agora, substituímos $ y $ por $ x $ para expressar a função inversa em termos de $ x $:
Ou, utilizando expoentes fracionários:
Resposta
A função inversa de $ f(x) = x^4 $, para $ x > 0 $, é $ f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x} $ ou $ f^{-1}(x) = x^{\frac{1}{4}} $.