Calcule a integral integral x ln (x^2+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x ln(x^2+1),dx. O conteúdo principal aqui é usar integração por substituição para simplificar a expressão e depois aplicação de integração por partes em integral ln t,dt.

Passo 2

Repare que dentro do ln temos x^2+1 e sua derivada é proporcional a x. Então fazemos a substituição
t = x^2+1,
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dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2
Substituindo na integral original, obtemos
integral x ln(x^2+1),dx = 12integral ln t ,dt

Passo 3

Agora precisamos calcular integral ln t,dt. Aqui usamos integração por partes, escolhendo
u = ln t, dv = dt
Então
du = 1t,dt, v = t

Passo 4

Pela fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du, temos
integral ln t,dt = tln t - integral t cdot 1t,dt = tln t - integral 1,dt = tln t - t

Passo 5

Voltando à nossa integral original e substituindo esse resultado, fica
integral x ln(x^2+1),dx = 12l(tln t - tr) + C
Como t = x^2+1, substituímos de volta e simplificamos, absorvendo constantes em C.

Resposta

(x^2+1)ln(x^2+1) - x^22 + C

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