Mostre que as funções abaixo são homogêneas
m(x, y)=y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ m(x, y) = \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea. Isso está relacionado ao tema de funções homogêneas, que basicamente são funções que têm um certo grau de homogeneidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como aplicar essa definição à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é dita homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um escalar $ \lambda $, a função resultante for igual a $ \lambda^{n} $ vezes a função original. Em fórmula:
f(x, y)
No nosso caso, queremos verificar se a função $ m(x, y) $ satisfaz essa condição para algum $ n $.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ m(x, y) = \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $. Primeiro, substituímos $ x $ por $ \lambda x $ e $ y $ por $ \lambda y $:
m(x, y) = y^2x^2+y^2

Passo 4

Agora, observamos que podemos fatorar $ \lambda^{2} $ no denominador:
lambda^2
Veja que o $ \lambda^{2} $ cancela no numerador e denominador, então:
lambda^2 y^2lambda^2 (x^2 + y^2) = lambda^2 y^2lambda^2 (x^2 + y^2) = y^2x^2 + y^2

Passo 5

Comparando com a definição de função homogênea, temos:
m(lambda x, lambda y) = m(x, y) = lambda^0 m(x, y)
Isso mostra que a função $ m(x, y) $ é homogênea de grau $ 0 $, pois $ \lambda^{0} = 1 $.

Resposta

A função $ m(x, y) = \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea de grau zero.

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