Calcule a integral de linha onde é a hélice circular dada através das equações paramétricas: .
Dados:
integralc f(x, y, z) d s=integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) raiz[x^prime(t)]^2+[y^prime(t)]^2+[z^prime(t)]^2 d t
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão pede para calcular a integral de linha integralC y cdot x cdot sin(z) , ds, onde C é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = t para 0 <= t <= 2pi
Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula da integral de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as parametrizações x(t), y(t) e z(t) na função que estamos integrando, que é f(x, y, z) = y cdot x cdot sin(z). Então:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = sin(t), então du = cos(t) , dt. Quando t = 0, u = 0, e quando t = 2pi, u = 0. Portanto: