Calcule a integral de linha integralC y cdot x cdot senz d s onde C é a hélice circular dada através das equações paramétricas: C:lx(t)=1 cdot cos (t) y(t)=1 cdot sen(t) com 0 <= t <= 2 pi z(t)=t.
Dados:
integralc f(x, y, z) d s=integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) raiz[x^prime(t)]^2+[y^prime(t)]^2+[z^prime(t)]^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão pede para calcular a integral de linha integralC y cdot x cdot sin(z) , ds, onde C é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = t para 0 <= t <= 2pi
Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula da integral de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as parametrizações x(t), y(t) e z(t) na função que estamos integrando, que é f(x, y, z) = y cdot x cdot sin(z). Então:
f(x(t), y(t), z(t)) = sin(t) cdot cos(t) cdot sin(t) = sin^2(t) cdot cos(t)

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a t:
x'(t) = ddt[cos(t)] = -sin(t)
y'(t) = ddt[sin(t)] = cos(t)
z'(t) = ddt[t] = 1

Passo 4

Com essas derivadas, vamos calcular o elemento de arco ds usando a fórmula:
ds = raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2 , dt
Substituindo:
ds = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1 , dt
Sabemos que sin^2(t) + cos^2(t) = 1, então:
ds = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da integral de linha:
integralC y cdot x cdot sin(z) , ds = integral0^2pi sin^2(t) cdot cos(t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2(t) cdot cos(t) , dt
Vamos simplificar a integral:
raiz2 integral0^2pi sin^2(t) cdot cos(t) , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = sin(t), então du = cos(t) , dt. Quando t = 0, u = 0, e quando t = 2pi, u = 0. Portanto:
raiz2 integral0^0 u^2 , du = 0
Isso porque os limites de integração são iguais.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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