- (2,0 pontos) Determine todos os extremos relativos e os pontos de sela de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todos os extremos relativos e os pontos de sela da função $ f(x, y, z) = 4xy - x^4 - y^4 $. Aqui estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente buscando os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais, ou seja, extremos relativos, além dos pontos de sela, que são tipos de pontos críticos onde a função muda de concavidade.
Passo 2
Primeiro, como a função não depende de $ z $, vamos simplificar e considerar $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^4 $. Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos ocorrem onde todas as derivadas parciais primeiras em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Substituindo $ y = x^3 $ na segunda equação $ x = y^3 $, temos:
Isso nos leva a $ x - x^9 = 0 $, ou seja, $ x(1 - x^8) = 0 $. As soluções são $ x = 0 $ ou $ x^8 = 1 $, o que nos dá $ x = \pm1 $.
Agora, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $:
- Se $ x = 0 $, então $ y = 0^3 = 0 $.
- Se $ x = 1 $, então $ y = 1^3 = 1 $.
- Se $ x = -1 $, então $ y = (-1)^3 = -1 $.
Portanto, temos três pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.
Passo 5
Agora, para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 6
Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
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No ponto $ (0, 0) $:Como $ D < 0 $, $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
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No ponto $ (1, 1) $:Além disso, como $ f_{xx} < 0 $, $ (1, 1) $ é um ponto de máximo relativo.
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No ponto $ (-1, -1) $:Também aqui, como $ f_{xx} < 0 $, $ (-1, -1) $ é um ponto de máximo relativo.
Resposta
A função possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e dois pontos de máximo relativo em $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.