• (2,0 pontos) Determine todos os extremos relativos e os pontos de sela de
f(x, y, z)=4 x y-x^4-y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todos os extremos relativos e os pontos de sela da função $ f(x, y, z) = 4xy - x^4 - y^4 $. Aqui estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente buscando os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais, ou seja, extremos relativos, além dos pontos de sela, que são tipos de pontos críticos onde a função muda de concavidade.

Passo 2

Primeiro, como a função não depende de $ z $, vamos simplificar e considerar $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^4 $. Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos ocorrem onde todas as derivadas parciais primeiras em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 4y - 4x^3
fy = partial fpartial y = 4x - 4y^3
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
4y - 4x^3 = 0 Rightarrow y = x^3
4x - 4y^3 = 0 Rightarrow x = y^3

Passo 4

Substituindo $ y = x^3 $ na segunda equação $ x = y^3 $, temos:
y = x^3
Isso nos leva a $ x - x^9 = 0 $, ou seja, $ x(1 - x^8) = 0 $. As soluções são $ x = 0 $ ou $ x^8 = 1 $, o que nos dá $ x = \pm1 $.
Agora, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $:
  • Se $ x = 0 $, então $ y = 0^3 = 0 $.
  • Se $ x = 1 $, então $ y = 1^3 = 1 $.
  • Se $ x = -1 $, então $ y = (-1)^3 = -1 $.
Portanto, temos três pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

Passo 5

Agora, para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -12y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 6

Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
  1. No ponto $ (0, 0) $:
    (0, 0)
    fxx = 0, fyy = 0, fxy = 4
    Como $ D < 0 $, $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
  2. No ponto $ (1, 1) $:
    D = (0)(0) - (4)^2 = -16 < 0
    D < 0
    Além disso, como $ f_{xx} < 0 $, $ (1, 1) $ é um ponto de máximo relativo.
  3. No ponto $ (-1, -1) $:
    (0, 0)
    (1, 1)
    Também aqui, como $ f_{xx} < 0 $, $ (-1, -1) $ é um ponto de máximo relativo.

Resposta

A função possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e dois pontos de máximo relativo em $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

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