pontos) Determine o gradiente de
no ponto
e então use-o para calcular
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) = y e^{x z} + z^{2} $ no ponto $ P(0,2,3) $. Depois, com esse gradiente, vamos calcular a derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ \boldsymbol{u} = \frac{2}{7} \boldsymbol{i} - \frac{3}{7} \boldsymbol{j} + \frac{6}{7} \boldsymbol{k} $ no ponto $ P $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular a derivada direcional usando o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como $ f(x, y, z) $, é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja,
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento da função e é super útil para encontrar taxas de variação em direções específicas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor gradiente $ \nabla f $ com as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(0,2,3) $. Substituindo $ x = 0 $, $ y = 2 $ e $ z = 3 $ nas componentes do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o gradiente no ponto $ P(0,2,3) $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional $ D_{\boldsymbol{u}} f $ usando o gradiente que achamos e o vetor $ \boldsymbol{u} = \frac{2}{7} \boldsymbol{i} - \frac{3}{7} \boldsymbol{j} + \frac{6}{7} \boldsymbol{k} $.
A fórmula para a derivada direcional é:
Ou seja, é o produto escalar do gradiente com o vetor direção.
Passo 7
Vamos calcular esse produto escalar:
Fazendo as multiplicações termo a termo e somando:
Resposta
A derivada direcional $ D_{\boldsymbol{u}} f $ no ponto $ P(0,2,3) $ na direção de $ \boldsymbol{u} $ é $ \frac{45}{7} $.