Calcule a integral de linha.
integralC y d x+(x+y^2) d y, C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36 com a orientação anti-horária

Passo 1

Temos a integral de linha integralC y,dx + (x + y^2),dy, onde C é a elipse 4x^2 + 9y^2 = 36 com orientação anti-horária. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em contorno fechado e vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla.

Passo 2

Identificamos o campo F(x,y) = lang<= P, Qrang<= com P(x,y)=y e Q(x,y)=x+y^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = 1

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA, onde D é a região interior à elipse. Substituindo as derivadas parciais, o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 1 = 0

Passo 4

Como a integral dupla de zero sobre qualquer região é zero, concluímos que a integral de linha vale zero.

Resposta

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