Calcule a integral de linha.
integralC raizx y d x+e^y d y+x z d z, C é dado por r(t)=t^4 i+t^2 j+t^3 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC raizx y,dx + e^y,dy + x z,dz ao longo da curva parametrizada por r(t)=t^4i+t^2j+t^3k, com 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial por parametrização, e vamos precisar expressar x,y,z e suas diferenciais em função de t.

Passo 2

Expressamos as funções de t: x(t)=t^4, y(t)=t^2, z(t)=t^3. Em seguida calculamos as diferenciais: dx=4t^3,dt, dy=2t,dt e dz=3t^2,dt.

Passo 3

Substituímos no integrando:
  • raizx y=raizt^4cdot t^2=t^3 (pois t>=0), então raizx y,dx= t^3cdot4t^3,dt=4t^6,dt.
  • e^y,dy=e^t^2cdot2t,dt.
  • x z,dz=(t^4cdot t^3)cdot3t^2,dt=3t^9,dt.

Passo 4

Logo, a integral fica integral0^1(4t^6+2t e^t^2+3t^9),dt.

Passo 5

Separamos em duas partes:
  1. integral0^1(4t^6+3t^9),dt=l[tfrac47t^7+tfrac310t^10r]0^1=tfrac47+tfrac310=tfrac6170.
  2. integral0^1 2t e^t^2,dt. Fazendo u=t^2, temos du=2t,dt, logo integral0^1 e^u,du=e-1.

Resposta

e-tfrac970

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