Mostre que F é conservativo e use esse fato para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada.
F(x, y, z)=e^y i+(x e^y+e^z) j+y e^z k, C é o segmento de reta que liga (0,2,0) a (4,0,3)

Passo 1

O exercício nos dá o campo vetorial F(x,y,z)=e^y,i+(x e^y+e^z),j+y e^z,k e pede para mostrar que é conservativo e calcular integralCFcdot dr onde C é o segmento de reta de (0,2,0) até (4,0,3). O conteúdo envolve campos conservativos, potencial escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, calculamos o rotor (curl) e mostramos que ele é o vetor nulo. O rotor é dado por nablatimesF=(partial/partial y)(y e^z)-(partial/partial z)(x e^y+e^z),i -[dots],j+[dots],k. Fazendo cada componente descobrimos que todas são zero, logo nablatimesF=0 em R^3, que é simplesmente conexo.

Passo 3

Como o rotor é zero em um domínio simplesmente conexo, existe uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F. Para encontrá-la, integramos componente a componente:
Integrando partial f/partial x=e^y em relação a x obtemos f(x,y,z)=x e^y+g(y,z), onde g é função a determinar.
Comparando partial f/partial y=x e^y+partial g/partial y com a segunda componente de F, que é x e^y+e^z, vemos que partial g/partial y=e^z. Integramos em y e obtemos g(y,z)=y e^z+h(z).
Da derivada partial f/partial z=y e^z+h'(z) e igualando-a à terceira componente y e^z, concluímos que h'(z)=0. Portanto h(z)=constante, que podemos tomar zero.

Passo 4

Assim a potencial pode ser escolhida como f(x,y,z)=x e^y+y e^z. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
f(4,0,3)-f(0,2,0)=\bigl(4e{0}+0\bigr)-\bigl(0+2e{0}\bigr)=4-2=2.

Passo 5

Logo o valor da integral de linha é 2.

Resposta

2

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