Mostre que
é conservativo e use esse fato para calcular
ao longo da curva dada.
é o segmento de reta que liga
a
Passo 1
O exercício nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que é conservativo e calcular
onde
é o segmento de reta de
até
. O conteúdo envolve campos conservativos, potencial escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, calculamos o rotor (curl) e mostramos que ele é o vetor nulo. O rotor é dado por
. Fazendo cada componente descobrimos que todas são zero, logo
em
, que é simplesmente conexo.
Passo 3
Como o rotor é zero em um domínio simplesmente conexo, existe uma função potencial
tal que
. Para encontrá-la, integramos componente a componente:
Integrando em relação a
obtemos
, onde
é função a determinar.
Comparando com a segunda componente de
, que é
, vemos que
. Integramos em
e obtemos
.
Da derivada e igualando-a à terceira componente
, concluímos que
. Portanto
, que podemos tomar zero.
Integrando
Comparando
Da derivada
Passo 4
Assim a potencial pode ser escolhida como
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
f(4,0,3)-f(0,2,0)=\bigl(4e{0}+0\bigr)-\bigl(0+2e{0}\bigr)=4-2=2.
f(4,0,3)-f(0,2,0)=\bigl(4e{0}+0\bigr)-\bigl(0+2e{0}\bigr)=4-2=2.
Passo 5
Logo o valor da integral de linha é 2.
Resposta
2