Calcule a integral de linha.
integralC x d s, C é o arco de parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha integralC x,ds ao longo do arco da parábola y=x^2 que vai de (0,0) a (1,1). O conteúdo é integral de linha com elemento de comprimento de arco e vamos precisar parametrizar a curva e usar ds.

Passo 2

Vamos parametrizar a curva escolhendo x=t e y=t^2, com t variando de 0 a 1. Assim, o ponto genérico em C é (t,,t^2).

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a t: dx/dt=1 e dy/dt=2t. O diferencial de comprimento de arco é dado por
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt=raiz1+(2t)^2,dt=raiz1+4t^2,dt

Passo 4

Substituímos na integral de linha:
integralC x,ds=integralt=0^1 t,raiz1+4t^2,dt

Passo 5

Para resolver esta integral, fazemos a substituição u=1+4t^2, de onde du=8t,dt e t,dt=du/8. Quando t=0, u=1; quando t=1, u=5. Ficamos com
integral1^5 raizu,du8=18integral1^5 u^1/2,du

Passo 6

Calculamos a integral de potências:
18integral1^5 u^1/2,du=18cdot23l[u^3/2r]1^5=112l(5^3/2-1r)

Passo 7

Observando que 5^3/2=5raiz5, a resposta final fica
5raiz5-112

Resposta

dfrac5raiz5-112

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