Calcule a integral de linha , onde é a curva fronteira, orientada positivamente, da região delimitada pelas parábolas e , e o campo é dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a curva que delimita a região entre as parábolas e . O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos duas parábolas: e . Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Rearranjando:
Isso nos dá as soluções e (porque quando ). Portanto, as duas parábolas se cruzam em e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Aqui, , então identificamos e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região .
Passo 5
Vamos determinar a área da região entre as curvas e , de a . A área é dada por: