Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é a curva fronteira, orientada positivamente, da região delimitada pelas parábolas y1=raizx e y2=x^2, e o campo é dado por F(x, y)=(y+e^raizx, 2 x+cos (y^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a curva que delimita a região entre as parábolas e . O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos duas parábolas: raizx = x^2 e x = x^4 . Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas expressões:
x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1) = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Rearranjando:
Isso nos dá as soluções e (porque quando ). Portanto, as duas parábolas se cruzam em e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Aqui, , então identificamos e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + cos(y^2)) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (y + e^raizx) = 1
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 2 - 1 ) dA = integral duplaD 1 , dA
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região .

Passo 5

Vamos determinar a área da região Área = integral0^1 ( raizx - x^2 ) dx entre as curvas integral0^1 raizx , dx = 23 x^3/2 |0^1 = 23 e integral0^1 x^2 , dx = 13 x^3 |0^1 = 13 , de 23 - 13 = 13 a . A área é dada por:
Á
Calculando a integral:
Subtraindo:

Resposta

A integral de linha vale .

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