Seja
a esfera centrada na origem de raio
. Calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para calcular a integral de superfície da função
sobre a esfera
centrada na origem com raio
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais de superfície e propriedades das esferas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a esfera
é definida pela equação
. Isso significa que, para qualquer ponto sobre a esfera, a soma dos quadrados das coordenadas é constante e igual a
.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Como já sabemos que
na superfície da esfera, podemos substituir essa expressão na função:
Passo 4
Agora, a integral de superfície fica simplificada, pois
é uma constante em toda a esfera:
Passo 5
A integral
representa a área da superfície da esfera. Sabemos que a área
de uma esfera de raio
é dada por:
Passo 6
Substituindo a área na nossa expressão, temos:
Resposta
Portanto, a integral de superfície é: