Seja S a esfera centrada na origem de raio R. Calcule integral duplaS e^-(x^2+y^2+z^2) d S.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular a integral de superfície da função sobre a esfera centrada na origem com raio . Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais de superfície e propriedades das esferas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a esfera é definida pela equação . Isso significa que, para qualquer ponto sobre a esfera, a soma dos quadrados das coordenadas é constante e igual a .

Passo 3

A função que vamos integrar é e^-(x^2+y^2+z^2) = e^-R^2 . Como já sabemos que na superfície da esfera, podemos substituir essa expressão na função:

Passo 4

Agora, a integral de superfície fica simplificada, pois integral duplaS e^-(x^2+y^2+z^2) , dS = e^-R^2 integral duplaS , dS é uma constante em toda a esfera:

Passo 5

A integral A = 4pi R^2 representa a área da superfície da esfera. Sabemos que a área de uma esfera de raio é dada por:

Passo 6

Substituindo a área na nossa expressão, temos:
integral duplaS e^-(x^2+y^2+z^2) , dS = e^-R^2 times 4pi R^2

Resposta

Portanto, a integral de superfície é:
integral duplaS e^-(x^2+y^2+z^2) , dS = 4pi R^2 e^-R^2

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