Determine se F é ou não um campo vetorial conservador(conservativo). Se for, determine uma função f tal que F=nabla f. Tal f chama-se função potencial.
(f) F(x, y)=(2 x y+y^-2) i+(x^2-2 x y^-3) j, y<0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(2xy+y^-2)i+(x^2-2x y^-3)j, definido para y<0, é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f. Vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais em um domínio simplesmente conexo e depois integrar para obter f.

Passo 2

Como o semiplano y<0 é aberto e simplesmente conexo, basta checar se, para
P(x,y)=2xy+y^-2,
Q(x,y)=x^2-2x y^-3,
vale
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Ppartial y=2x-2y^-3,
partial Qpartial x=2x-2y^-3
Como são iguais, F é conservativo. Para achar f, integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(2xy+y^-2),dx = x^2y + x y^-2 + g(y)
Depois impomos
partial fpartial y=x^2-2x y^-3+g'(y)=Q(x,y)=x^2-2x y^-3,
logo g'(y)=0 e g(y)=C.

Resposta

Uma função potencial é f(x,y)=x^2y + x y^-2 + C, com constante arbitrária C.

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