Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(j) integralC x y^2 z d s, C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x y^2 z ao longo do segmento de reta C que vai de (-1,5,0) a (1,6,4). O conteúdo é integral de linha com respeito ao comprimento de arco ( ds) e vamos precisar parametrizar C e usar ds=lVert r'(t)rVert dt.

Passo 2

Parametrização da curva: Como C é um segmento de reta, podemos usar r(t)=(-1,5,0)+tl((1,6,4)-(-1,5,0)r)=(-1+2t,,5+t,,4t), com tin[0,1]. Então
x(t)=-1+2t, y(t)=5+t, z(t)=4t

Passo 3

Cálculo de ds: Derivando r(t) temos r'(t)=(2,1,4), e seu módulo é constante,
lVert r'(t)rVert=raiz2^2+1^2+4^2=raiz21

Passo 4

Expressão do integrando em t: Substituindo em f(x,y,z)=x y^2 z e multiplicando por ds, obtemos
x(t)y(t)^2z(t),ds=( -1+2t)(5+t)^2(4t)raiz21

Passo 5

Expansão e integração: Primeiro expandimos o polinômio:
( -1+2t)(5+t)^2(4t)=8t^4+76t^3+160t^2-100t
Então a integral fica
integralCx y^2z,ds=raiz21integral0^1(8t^4+76t^3+160t^2-100t),dt

Passo 6

Calculando a integral de cada monômio:
integral0^18t^4dt=85,integral0^176t^3dt=19,integral0^1160t^2dt=1603,integral0^1-100t,dt=-50

Passo 7

Somando tudo com denominador comum:
85-50+1603=35915

Passo 8

Portanto a integral vale
35915raiz21

Resposta

35915raiz21

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