Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
(d)
.
(d)
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é dado por
e a curva
é descrita pela função vetorial
, para
.
Conteúdo da Matéria: Integrais de linha no cálculo vetorial.
O que Vamos Precisar: Para resolver essa integral, vamos parametrizar o campo vetorial
em termos de
, encontrar a derivada de
em relação a
, calcular o produto escalar
e, por fim, integrar esse produto em relação a
no intervalo dado.
Passo 2
Parametrizando o Campo Vetorial
:
Primeiro, vamos expressar
em termos da variável
substituindo as componentes de
na fórmula de
.
Sabemos que:
Portanto:
Substituindo na expressão de
:
Passo 3
Encontrando
:
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, que nos dará
.
Derivando cada componente de
:
Então:
Passo 4
Calculando o Produto Escalar
:
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Calculando cada termo:
Passo 5
Configurando a Integral de Linha:
A integral de linha agora fica:
Passo 6
Simplificando a Integral:
Podemos simplificar a expressão utilizando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculando a Integral:
Agora, integramos:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral de linha é igual a
.