Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(d) F(x, y, z)=x i+y j-x y k, r(t)=cos t i+sen t j+t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é dado por F(x, y, z) = x i + y j - x y k e a curva C é descrita pela função vetorial r(t) = cos t i + sin t j + t k, para 0 <= t <= pi.
Conteúdo da Matéria: Integrais de linha no cálculo vetorial.
O que Vamos Precisar: Para resolver essa integral, vamos parametrizar o campo vetorial F em termos de t, encontrar a derivada de r(t) em relação a t, calcular o produto escalar F cdot drdt e, por fim, integrar esse produto em relação a t no intervalo dado.

Passo 2

Parametrizando o Campo Vetorial F:
Primeiro, vamos expressar F em termos da variável t substituindo as componentes de r(t) na fórmula de F.
Sabemos que:
r(t) = cos t i + sin t j + t k
Portanto:
x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t
Substituindo na expressão de F:
F(r(t)) = x(t) i + y(t) j - x(t) y(t) k = cos t i + sin t j - (cos t)(sin t) k

Passo 3

Encontrando dr/dt:
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) em relação a t, que nos dará dr.
Derivando cada componente de r(t):
drdt = ddt (cos t i + sin t j + t k) = -sin t i + cos t j + k
Então:
dr = ( -sin t i + cos t j + k ) dt

Passo 4

Calculando o Produto Escalar F cdot dr:
Agora, calculamos o produto escalar entre F(r(t)) e dr:
F(r(t)) cdot dr = (cos t i + sin t j - cos t sin t k) cdot (-sin t i + cos t j + k)
Calculando cada termo:
= cos t (-sin t) + sin t (cos t) + (-cos t sin t)(1) = -cos t sin t + cos t sin t - cos t sin t = -cos t sin t

Passo 5

Configurando a Integral de Linha:
A integral de linha agora fica:
integralC F cdot dr = integral0^pi -cos t sin t , dt

Passo 6

Simplificando a Integral:
Podemos simplificar a expressão utilizando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin 2t = 2 sin t cos t implies sin t cos t = 12 sin 2t
Substituindo na integral:
integral0^pi -cos t sin t , dt = -12 integral0^pi sin 2t , dt

Passo 7

Calculando a Integral:
Agora, integramos:
-12 integral0^pi sin 2t , dt = -12 [ -12 cos 2t ]0^pi = 14 [ cos 2pi - cos 0 ]
Sabemos que cos 2pi = 1 e cos 0 = 1, então:
14 (1 - 1) = 14 (0) = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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