Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada por equações paramétricas.
F(x, y, z)=x e^x z d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

Aqui a missão é calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x e^{xz} ao longo do segmento C que vai de (0,0,0) a (1,2,3). O conteúdo envolve parametrização de C e uso da fórmula integralC f,ds=integrala^b f( r(t)),| r'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por r(t)=(t,2t,3t), com tin[0,1], pois em t=0 temos (0,0,0) e em t=1 temos (1,2,3).
Calculamos a derivada r'(t)=(1,2,3) e o comprimento do vetor | r'(t)|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14. Logo ds=| r'(t)|,dt=raiz14,dt.

Passo 3

Substituímos na integral: integralC x e^xz,ds=integral0^1 f( r(t)),| r'(t)|,dt=integral0^1 l(t e^3t^2r)raiz14,dt=raiz14integral0^1 t e^3t^2,dt

Passo 4

Fazemos a substituição u=3t^2, logo du=6t,dt e t,dt=du/6. Quando t=0 temos u=0 e quando t=1 temos u=3. Então
raiz14integral0^1 t e^3t^2,dt=raiz14integral0^3 e^udu6=raiz146l(e^3-1r)

Resposta

raiz146,(e^3-1)

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