Determine se F é ou não um campo vetorial conservador(conservativo). Se for, determine uma função f tal que F=nabla f. Tal f chama-se função potencial.
F(x, y)=e^x sin y i+e^x sin y j.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=e^xsin y,i+e^xsin y,j é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. O conteúdo é teste de conservatividade de campos em R^2 e potencial escalar.

Passo 2

Em R^2, um campo F=(P,Q) é conservativo se o domínio for simplesmente conexo e satisfizer o teste partial Ppartial y=partial Qpartial x. Aqui temos P(x,y)=e^xsin y e Q(x,y)=e^xsin y.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y=partialpartial y(e^xsin y)=e^xcos y.
partial Qpartial x=partialpartial x(e^xsin y)=e^xsin y.

Passo 3

Como e^xcos yneq e^xsin y em geral, temos partial Ppartial yneqpartial Qpartial x. Portanto, o teste de conservatividade falha.

Passo 4

Concluímos que o campo F não é conservativo e, logo, não existe função potencial f definida em todo o plano que satisfaça nabla f=F.

Resposta

O campo não é conservativo, pois partial P/partial y=e^xcos yneq e^xsin y=partial Q/partial x.

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