Verifique se as funções dadas são soluções linearmente independentes da EDO correspondente.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=0 ; y1=e^x cos (2 x) e y2=e^x sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 2y’ + 5y = 0 $. E duas funções dadas: $ y_1 = e^{x} \cos (2x) $ e $ y_2 = e^{x} \sin (2x) $. O que a gente precisa descobrir é se essas duas funções são soluções linearmente independentes dessa equação. Para isso, vamos usar o conceito de Wronskiano que ajuda a verificar essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa serem soluções linearmente independentes. Duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. No contexto de equações diferenciais, isso significa que não existe uma constante $ C $ tal que $ y_1 = C \cdot y_2 $. Para testar isso, usamos o Wronskiano, que é um determinante formado pelas funções e suas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções $ y_1 $ e $ y_2 $.
Para $ y_1 = e^{x} \cos (2x) $:
y1
y2
Para $ y_2 = e^{x} \sin (2x) $:
y1 = e^x cos (2x)
y1' = e^x cos(2x) + e^x (-2 sin(2x)) = e^x [cos(2x) - 2sin(2x)]

Passo 4

Agora, vamos montar o Wronskiano:
$$
W(y_1, y_2) =
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = e^x cos(2x) & e^x sin(2x) e^x [cos(2x) - 2sin(2x)] & e^x [sin(2x) + 2cos(2x)]

W = e^x cos(2x) cdot e^x [sin(2x) + 2cos(2x)] - e^x sin(2x) cdot e^x [cos(2x) - 2sin(2x)]
$$
Calculando o determinante:
W = e^2x cos(2x)[sin(2x) + 2cos(2x)] - e^2x sin(2x)[cos(2x) - 2sin(2x)]
W = e^2x [cos(2x)sin(2x) + 2cos^2(2x) - sin(2x)cos(2x) + 2sin^2(2x)]
W = e^2x [2cos^2(2x) + 2sin^2(2x)]
Simplificando:
W = e^2x [2(cos^2(2x) + sin^2(2x))] = e^2x cdot 2 cdot 1 = 2e^2x

Passo 5

O Wronskiano $ W = 2e^{2x} $ nunca é zero, já que $ e^{2x} $ é sempre positivo para qualquer $ x $. Isso significa que as funções $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes.

Resposta

As funções $ y_{1}=e^{x} \cos (2 x) $ e $ y_{2}=e^{x} \sin(2 x) $ são soluções linearmente independentes da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados