Calcule a integral dupla.
integral0^1 integral1^2 x e^xy d y d x

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral0^1 integral1^2 x e^xy , dy , dx. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral dupla, que basicamente significa integrar uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Aqui, vamos primeiro integrar em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Começamos integrando a função x e^xy em relação a y, enquanto tratamos x como uma constante. A integral de 1y em relação a y é ln|y|. Então,
integral1^2 x e^xy , dy = x e^x integral1^2 1y , dy = x e^x [ln y]1^2

Passo 3

Agora, calculamos [ln y]1^2:
[ln y]1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2
Então, a integral se torna:
x e^x ln 2

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 x e^x ln 2 , dx = ln 2 integral0^1 x e^x , dx
A constante ln 2 pode ser tirada para fora da integral.

Passo 5

Para resolver integral x e^x , dx, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C

Passo 6

Agora, avaliamos de 0 a 1:
[x e^x - e^x]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1

Passo 7

Multiplicando pelo ln 2 que tínhamos tirado para fora:
ln 2 cdot 1 = ln 2

Resposta

A integral dupla vale ln 2.

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