Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=x^2 i+x y j+z^2 k,
r(t)=sen t i+cos t j+t^2 k, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z)=x^2,i+x,y,j+z^2,k
e a curva C é dada por
r(t)=(sin t),i+(cos t),j+(t^2),k,
com 0<= t<= pi/2.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial por parametrização: precisamos de r'(t), F(r(t)), o produto escalar e depois integrar em t.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter dr:
r'(t) =l(cos t,,-sin t,,2tr),
portanto
dr=r'(t),dt=(cos t),i+(-sin t),j+(2t),k,dt

Passo 3

Substituímos r(t) em F para obter
F(r(t)) =l(sin^2t,;sin tcos t,;t^4r)

Passo 4

Fazemos o produto escalar F(r(t))cdot r'(t):
sin^2tcdotcos t +sin tcos tcdot(-sin t) + t^4cdot(2t) = sin^2tcos t-sin^2tcos t+2t^5 =2t^5

Passo 5

Agora integramos de t=0 até t=pi/2:
integral0^pi/22t^5,dt =2[t^66]0^pi/2 =13l(pi2r)^6 =pi^6192

Resposta

pi^6192

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