Calcule a integral de linha , onde e é dada pela função vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é descrita pela função vetorial . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com campos vetoriais e parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . A fórmula para calcular isso é:
Aqui, é a parametrização da curva , e e são os limites do parâmetro .
Passo 3
Vamos identificar e calcular sua derivada . Dada a parametrização:
A derivada em relação a é:
Passo 4
Agora, substituímos na função :
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Aqui, precisamos saber os limites de . Vamos supor que varia de 0 a 1.