Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x y, z^3, y) e C é dada pela função vetorial r(t)=(e^t, e^2 t, e^-t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y, z) é (x y, z^3, y) e a curva C é descrita pela função vetorial r(t) = (e^t, e^2 t, e^-t). Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com campos vetoriais e parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial F ao longo de uma curva C. A fórmula para calcular isso é:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, r(t) é a parametrização da curva C, e a e b são os limites do parâmetro t.

Passo 3

Vamos identificar r(t) e calcular sua derivada r'(t). Dada a parametrização:
r(t) = (e^t, e^2t, e^-t)
A derivada em relação a t é:
r'(t) = (ddte^t, ddte^2t, ddte^-t) = (e^t, 2e^2t, -e^-t)

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função F:
F(r(t)) = F(e^t, e^2t, e^-t) = (e^t cdot e^2t, (e^-t)^3, e^2t) = (e^3t, e^-3t, e^2t)

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (e^3t)(e^t) + (e^-3t)(2e^2t) + (e^2t)(-e^-t)
Simplificando cada termo:
= e^4t + 2e^-t - e^t

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralC F cdot dr = integrala^b (e^4t + 2e^-t - e^t) dt
Aqui, precisamos saber os limites de t. Vamos supor que t varia de 0 a 1.

Passo 7

Calculamos a integral termo a termo:
integral0^1 e^4t dt = 14e^4t |0^1 = 14(e^4 - 1)
integral0^1 2e^-t dt = -2e^-t |0^1 = -2(e^-1 - 1) = 2(1 - e^-1)
integral0^1 -e^t dt = -e^t |0^1 = -(e - 1)

Passo 8

Agora, somamos todos os resultados:
14(e^4 - 1) + 2(1 - e^-1) - (e - 1)
Simplificando:
= 14e^4 - 14 + 2 - 2e^-1 - e + 1
= 14e^4 - e + 3 - 2e^-1 - 14
= 14e^4 - e + 114 - 2e^-1

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr é igual a:
14e^4 - e + 114 - 2e^-1

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