Mostre que o campo vetorial F(x, y, z)=(ln (y),(x / y)+ln (z), y / z) é conservativo e determine um função f tal que F=nabla f.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que o campo vetorial F(x,y,z)=(ln(y),,x/y+ln(z),,y/z) é conservativo e depois encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f. Vamos usar teoria de campos conservativos: verificar que o rotacional de F é nulo em um domínio simplesmente conexo (aqui y>0,z>0) e então integrar as componentes.

Passo 2

Definimos P(x,y,z)=ln(y), Q(x,y,z)=x/y+ln(z) e R(x,y,z)=y/z. Para um campo ser conservativo precisamos checar que partial P/partial y=partial Q/partial x, partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: partial P/partial y=1/y e partial Q/partial x=1/y; partial P/partial z=0 e partial R/partial x=0; partial Q/partial z=1/z e partial R/partial y=1/z. Como todas as igualdades se mantêm, o rotacional de F é zero em y>0,z>0.
Como a região y>0,z>0 é simplesmente conexa e o rotacional é nulo, concluímos que F é conservativo e existe uma função potencial f tal que F=nabla f.

Passo 4

Para encontrar f, integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=integralln(y),dx = xln(y) + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar. Diferenciando em y temos
fy = x/y + gy
e igualamos a Q=x/y+ln(z), obtendo gy=ln(z). Integrando em y:
g(y,z)=yln(z)+h(z)

Passo 5

Finalmente, exigimos que fz=R=y/z. Calculando
fz = partial/partial z,l[xln(y)+yln(z)+h(z)r] = y/z + h'(z)
igual a y/z implica h'(z)=0, logo h(z)=C. Assim a função potencial geral é
f(x,y,z)=xln(y)+yln(z)+C

Resposta

f(x,y,z)=x\ln(y)+y\ln(z)+C

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