Mostre que o campo vetorial
é conservativo e determine um função
tal que
.
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que o campo vetorial
é conservativo e depois encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar teoria de campos conservativos: verificar que o rotacional de
é nulo em um domínio simplesmente conexo (aqui
) e então integrar as componentes.
Passo 2
Definimos
,
e
. Para um campo ser conservativo precisamos checar que
,
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
e
;
e
;
e
. Como todas as igualdades se mantêm, o rotacional de
é zero em
.
Como a região é simplesmente conexa e o rotacional é nulo, concluímos que
é conservativo e existe uma função potencial
tal que
.
Como a região
Passo 4
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando em
temos
e igualamos a
, obtendo
. Integrando em
:
Passo 5
Finalmente, exigimos que
. Calculando
igual a
implica
, logo
. Assim a função potencial geral é
Resposta
f(x,y,z)=x\ln(y)+y\ln(z)+C