Classifique as descontinuidades de f(x)=x^2-1x^2+4 x-5, caso existam.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4x - 5} $ e precisamos classificar as descontinuidades dessa função, se houver. Isso significa que vamos identificar onde a função não está contínua e determinar o tipo dessas descontinuidades. Para isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador da fração.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador e o denominador da função.
  • Numerador: $ x^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
    x^2 - 1
  • Denominador: $ x^{2} + 4x - 5 $ é um trinomio do segundo grau. Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) e somados dão x^2 + 4x - 5 . Esses números são -5 e 4, então:
    5
Agora, a função fica:
-1

Passo 3

Observamos que o fator $ (x - 1) $ aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que, exceto em $ x = 1 $, podemos simplificar a função:
(x - 1)

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de $ x $ que tornam o denominador original igual a zero, pois esses são os pontos onde a função pode ter descontinuidade.
Resolvendo $ x^{2} + 4x - 5 = 0 $:
x

Passo 5

Vamos analisar cada ponto:
  1. Em $ x = 1 $:
    • Tanto o numerador quanto o denominador são zero.
    • Isso sugere uma descontinuidade removível, pois o fator $ (x - 1) $ pode ser simplificado.
    • A função pode ser redefinida em $ x = 1 $ para remover a descontinuidade.
  2. Em $ x = -5 $:
    • O denominador é zero, mas o numerador é $ (-5)^{2} - 1 = 24 $, que não é zero.
    • Isso indica uma assíntota vertical, já que a função tende ao infinito próximo a $ x = -5 $.

Resposta

As descontinuidades de $ f(x) $ são:
  • Em $ x = 1 $: descontinuidade removível.
  • Em $ x = -5 $: assíntota vertical.

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