Classifique as descontinuidades de
, caso existam.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4x - 5} $ e precisamos classificar as descontinuidades dessa função, se houver. Isso significa que vamos identificar onde a função não está contínua e determinar o tipo dessas descontinuidades. Para isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador da fração.
Passo 2
Vamos começar fatorando o numerador e o denominador da função.
-
Numerador: $ x^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
-
Denominador: $ x^{2} + 4x - 5 $ é um trinomio do segundo grau. Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão . Esses números são e , então:
Agora, a função fica:
Passo 3
Observamos que o fator $ (x - 1) $ aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que, exceto em $ x = 1 $, podemos simplificar a função:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de $ x $ que tornam o denominador original igual a zero, pois esses são os pontos onde a função pode ter descontinuidade.
Resolvendo $ x^{2} + 4x - 5 = 0 $:
Passo 5
Vamos analisar cada ponto:
-
Em $ x = 1 $:
- Tanto o numerador quanto o denominador são zero.
- Isso sugere uma descontinuidade removível, pois o fator $ (x - 1) $ pode ser simplificado.
- A função pode ser redefinida em $ x = 1 $ para remover a descontinuidade.
-
Em $ x = -5 $:
- O denominador é zero, mas o numerador é $ (-5)^{2} - 1 = 24 $, que não é zero.
- Isso indica uma assíntota vertical, já que a função tende ao infinito próximo a $ x = -5 $.
Resposta
As descontinuidades de $ f(x) $ são:
- Em $ x = 1 $: descontinuidade removível.
- Em $ x = -5 $: assíntota vertical.