Encontre o valor de k tal que
f(x)= 9-x^2, & x <= 3 k /(x-3)^2, & x>3
seja contínua em toda parte, caso exista. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e queremos encontrar o valor de $ k $ que faz essa função ser contínua em todo lugar. Isso envolve entender conceitos de continuidade de funções e limites. Vamos precisar usar propriedades de limites e entender como funções se comportam nos pontos de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em todo lugar. Isso quer dizer que, não tem nenhum salto ou descontinuidade na função. No nosso caso, a função é definida em duas partes:
f(x)= 9 - x^2, & x <= 3 k(x-3)^2, & x > 3
A única preocupação é no ponto $ x = 3 $, onde a função muda de uma expressão para outra. Precisamos garantir que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função em $ x = 3 $.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em $ x = 3 $. Pela primeira parte da função:
x = 3
Então, para ser contínua, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita também precisa ser 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita:
f(x)
Note que x sempre é positivo e se aproxima de 0 quando $ x $ se aproxima de 3. Então, limx to 3^+ k(x-3)^2 vai depender do valor de $ k $:
  • Se $ k > 0 $, o limite vai para $ +\infty $.
  • Se $ k < 0 $, o limite vai para $ -\infty $.
  • Se $ k = 0 $, o limite é 0.
Para que a função seja contínua, esse limite precisa ser igual a 0, que é o valor da função em $ x = 3 $.

Passo 5

Então, a única opção que satisfaz essa condição é:
k = 0
Com $ k = 0 $, a segunda parte da função se torna 0 para todos $ x > 3 $, garantindo que não haja descontinuidade em $ x = 3 $.

Resposta

O valor de $ k $ que torna a função contínua em toda parte é $ \boxed{0} $.

Exercícios relacionados