Questão 11. Considere a função f definida abaixo:
f(x)= e^-1 / x^2, & x neq 0 0, & x=0
Determine a série de Maclaurin para f e mostre que ela converge para todos os valores de x, mas que ela representa f(x) somente se x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=e{-1/x{2}} quando x≠0 e f(0)=0. O conteúdo é série de Maclaurin (expansão de Taylor em torno de 0) e vamos precisar calcular as derivadas de f em 0 para obter os coeficientes da série.

Passo 2

Para encontrar a série de Maclaurin, lembramos que os coeficientes são c_{n}=f^{(n)}(0)/n!. Precisamos, então, mostrar que todas as derivadas de f em x=0 são nulas.

Passo 3

Mostramos que f é infinitamente diferenciável em ℝ e que para todo n≥0 vale f^{(n)}(0)=0. De fato, usando argumentos de estimativa com regra de L’Hôpital repetida ou conhecendo o comportamento de e{-1/x{2}}, verifica-se que cada derivada em 0 tende a 0.

Passo 4

Como todos os coeficientes c_{n}=0, a série de Maclaurin fica
sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n = sumn=0^infty0cdot x^n = 0,
Essa série tem raio de convergência infinito, pois é a soma de termos constantes nulos, logo converge para 0 para todo x.

Passo 5

Concluímos que embora a série convirja (sempre resultando em 0), ela coincide com f(x) somente quando x=0. Para x≠0 temos f(x)=e{-1/x{2}}>0, enquanto a série dá 0.
Por isso a expansão de Maclaurin de f é identicamente zero, mas representa f apenas no ponto x=0.

Resposta

A série de Maclaurin de f é sumn=0^infty0,x^n=0, converge para todo x, mas iguala f(x) só em x=0.

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