Questão 11. Considere a função
definida abaixo:
Determine a série de Maclaurin para
e mostre que ela converge para todos os valores de
, mas que ela representa
somente se
.
Passo 1
O enunciado dá a função f definida por f(x)=e{-1/x{2}} quando x≠0 e f(0)=0. O conteúdo é série de Maclaurin (expansão de Taylor em torno de 0) e vamos precisar calcular as derivadas de f em 0 para obter os coeficientes da série.
Passo 2
Para encontrar a série de Maclaurin, lembramos que os coeficientes são c_{n}=f^{(n)}(0)/n!. Precisamos, então, mostrar que todas as derivadas de f em x=0 são nulas.
Passo 3
Mostramos que f é infinitamente diferenciável em ℝ e que para todo n≥0 vale f^{(n)}(0)=0. De fato, usando argumentos de estimativa com regra de L’Hôpital repetida ou conhecendo o comportamento de e{-1/x{2}}, verifica-se que cada derivada em 0 tende a 0.
Passo 4
Como todos os coeficientes c_{n}=0, a série de Maclaurin fica
Essa série tem raio de convergência infinito, pois é a soma de termos constantes nulos, logo converge para 0 para todo x.
Passo 5
Concluímos que embora a série convirja (sempre resultando em 0), ela coincide com f(x) somente quando x=0. Para x≠0 temos f(x)=e{-1/x{2}}>0, enquanto a série dá 0.
Por isso a expansão de Maclaurin de f é identicamente zero, mas representa f apenas no ponto x=0.
Por isso a expansão de Maclaurin de f é identicamente zero, mas representa f apenas no ponto x=0.
Resposta
A série de Maclaurin de f é
, converge para todo x, mas iguala f(x) só em x=0.